Mängdoperationer

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med fyra viktiga mängdoperationer: union, snitt, differens och komplement. Dessa mängdoperationer låter oss bilda nya mängder utifrån redan kända mängder. Vi kan till exempel vilja ange alla element som finns i minst en av mängderna A eller B, eller alla element som bara finns i A men inte i B, eller liknande.

Universalmängd

När vi beskriver olika mängder utgör dessa alltid delmängder av ett universum, beroende på sammanhanget. Har vi till exempel en mängd A = {-7, 0, 2, 5, 9}, så kan vi se denna mängd som en delmängd av heltalen, Z. I så fall utgör Z vad vi kallar en universalmängd eller grundmängd, som då utgör alla de värden som en mängd kan innehålla i detta sammanhang. Universalmängden betecknas ofta med bokstaven U.

Universalmängden är ofta underförstådd utifrån sammanhanget. Undersöker vi till exempel olika mängder bestående av heltal, är det rimligt att anta att universalmängden utgörs av samtliga heltal, men den skulle även kunna utgöras av någon annan mängd, till exempel alla reella tal, R. För att undvika eventuella missförstånd är det därför bra att ange universalmängden.

Att känna till vilken universalmängden är har vi användning för när vi undersöker mängdoperationen komplement, som vi ska bekanta oss med härnäst.

När vi i resten av det här avsnittet undersöker mängdoperationerna kommer vi att utgå från en universalmängd U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, och de båda mängderna A = {1, 2} och B = {2, 3, 5}.

Komplement

Komplementet till en mängd A utgörs av den mängd som innehåller alla de element som inte ingår i A. Komplementet till mängden A betecknar vi A^C.

Vilket komplementet till en mängd A är beror dels på vilka element som ingår i mängden A och dels på vilka element som ingår i universalmängden U.

Om vi har en mängd A och en uttryckligen angiven universalmängd U, har vi följande komplement till A:

$${A}^{C}=\{x\,|\,x\in U\,och\,x\notin A\}$$

men eftersom x förutsätts finnas i universalmängden går det även bra att skriva

$${A}^{C}=\{x\,|\,x\notin A\}$$

Om vi till exempel har mängden A = {1, 2} och universalmängden U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, blir komplementet till A

$${A}^{C}=\{0,\,3,\,4,\,5\}$$

eftersom elementen 0, 3, 4 och 5 är de element som finns i universalmängden U men inte i mängden A.

Union

Unionen av två mängder A och B utgörs av den mängd som innehåller alla element som finns i A eller B, eller båda. Unionen av A och B skriver vi så här:

$$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\text{ eller }x\in B\}$$

Om vi till exempel har A = {1, 2} och B = {2, 3, 5}, kommer unionen av A och B att vara

$$A\cup B=\{1,\,2\}\cup \{2,\,3,\,5\}=\{1,\,2,\,3,\,5\}$$

eftersom elementet 1 finns i A, elementet 2 finns i både A och B, och elementen 3 och 5 finns i B.

Utifrån definitionerna av union och komplement kan vi inse att unionen av en mängd A och mängden A^C tillsammans utgör universalmängden U:

$$A\cup {A}^{C}=U$$

Snitt

Snittet av två mängder A och B utgörs av den mängd som innehåller alla element som finns i både A och B. Snittet av A och B skriver vi så här:

$$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\text{ och }x\in B\}$$

Om vi till exempel har A = {1, 2} och B = {2, 3, 5}, kommer snittet av A och B att vara

$$A\cap B=\{1,\,{\color{Blue} 2}\}\cap \{{\color{Blue} 2},\,3,\,5\}=\{{\color{Blue} 2}\}$$

eftersom elementet 2 är det enda element som finns i både A och B (elementen 1, 3 och 5 finns i en av A eller B, men inte i båda).

Snittet av en mängd A och komplementmängden A^C utgörs av den tomma mängden, Ø, eftersom ett element (som finns i universalmängden) alltid finns i antingen en mängd eller i komplementet till mängden, men aldrig i båda. Ett annat sätt att uttrycka detta är att en mängd och komplementet till mängden inte har något element gemensamt.

Differens

Differensen av två mängder A och B utgörs av den mängd som innehåller alla element som finns i A men inte i B. Differensen av A och B skriver vi så här:

$$A \setminus B=\{x\,|\,x\in A\text{ och }x\notin B\}$$

Om vi till exempel har A = {1, 2} och B = {2, 3, 5}, kommer differensen av A och B att vara

$$A \setminus B=\{{\color{Blue} 1},\,{\color{Red} 2}\} \setminus \{{\color{Red} 2},\,3,\,5\}=\{{\color{Blue} 1}\}$$

eftersom elementet 1 finns i mängden A men inte i mängden B (elementet 2 finns i både A och B).

Till skillnad från mängdoperationerna union och snitt, spelar det roll i vilken ordning mängderna står i en differens. A \ B är alltså inte samma sak som B \ A. Detta kan vi lätt inse utifrån våra exempelmängder, eftersom

$$B \setminus A = \{{\color{Red} 2},\,{\color{Blue} 3},\,{\color{Blue} 5}\} \setminus \{1,\,{\color{Red} 2}\} = \{{\color{Blue} 3},\,{\color{Blue} 5}\}$$