Talföljder

I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor.

Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder. Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion, vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning. De tal som ingår i en talföljd kallas element.

Här nedan är två exempel på talföljder, där den första är en aritmetisk talföljd och den andra är en geometrisk talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

I de båda exemplen ovan finns det ett mönster som gör att vi kan förutse och beräkna värdet på elementen i talföljden, men det finns även talföljder där värdena på elementen inte följer något mönster. Om värdena på elementen i talföljden följer ett visst mönster och vi känner till detta mönster, då kan vi beräkna värdet på talföljdens element med hjälp av en formel.

En annan egenskap som de båda talföljderna ovan har är att de är oändliga talföljder, vilket innebär att det finns oändligt många element i talföljden. Detta markerar vi med de tre punkterna längst till höger i talföljden, vilka betecknar att resten av elementen i talföljden följer samma mönster som de som redan skrivits ut. Det finns även ändliga talföljder, vilka har ett begränsat antal element. Ett exempel på en ändlig talföljd är 1,2, 3, som alltså bara består av dessa tre element.

Att en talföljd är en följd av tal innebär att det, till skillnad från mängder, spelar roll i vilken ordning som talen förekommer. Till exempel är talföljderna 1, 2, 3 respektive 3, 2, 1 två helt olika talföljder, medan mängderna {1, 2, 3} respektive {3, 2, 1} är identiska mängder.

När vi vill ange ett visst element i en talföljd, kan vi göra det med hjälp av elementets index, vilket anger var i talföljden som elementet förekommer. Det första elementet i en talföljd kan därför ges index 1, det andra elementet index 2, och så vidare, vilket innebär att det n:te elementet har index n. Till exempel kan vi ha följande oändliga talföljd

$${a}_{1},\,{a}_{2},\,{a}_{3},\,{a}_{4},\,...$$

där a_n anger det n:te elementet i talföljden. Ibland förekommer det även att man börjar räkna index från noll, det vill säga a₀, a₁, a₂, och så vidare.

Aritmetiska talföljder och aritmetiska summor

I början av detta avsnitt har vi ett exempel på en talföljd som ser ut så här:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Detta är en typ av talföljd som kallas aritmetisk talföljd och som vi tidigare har träffat på i Matte 1-kursen.

Gemensamt för alla aritmetiska talföljder är att differensen, d, mellan ett tal och det närmast föregående talet är konstant.

Till exempel gäller för talföljden ovan att differensen är 2 mellan det andra elementet (5) och det första elementet (3), mellan det tredje elementet (7) och det andra elementet (5), osv. Vi kan se detta som att avståndet mellan intilliggande element i en aritmetisk talföljd är konstant.

Detta kan vi skriva på följande allmänna sätt:

$${a}_{n}-{a}_{n-1}=d$$

där n > 1.

En oändlig aritmetisk talföljd följer därför följande mönster:

$${a}_{1},\,{a}_{1}+d,\,{a}_{1}+2d,\,{a}_{1}+3d,\,...$$

och värdet på det n:te elementet kan vi beräkna med formeln

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

Vill vi beräkna summan av de n första elementen i en aritmetisk talföljd (vad som kallas en aritmetisk summa) kan vi göra det med följande formel:

$${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

där s_n är summan av de n första elementen i talföljden, a₁ är talföljdens första element, och a_n är talföljdens n:te element.

I ett senare avsnitt kommer vi att visa hur vi med hjälp av induktionsbevis kan bevisa att denna formel för en aritmetiska summa stämmer för talföljden

$$1,\,2,\,3,\,...\,,\,n$$

Beräkna värdet på det 100:e elementet och summan av de hundra första elementen i talföljden

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Som vi tidigare har konstaterat är detta en aritmetisk talföljd där differensen, d, mellan värdet på ett element, a_n, och värdet på det närmast föregående elementet, a_n-1, är lika med 2.

Därför kan vi beräkna värdet på det hundrade elementet, a₁₀₀, så här:

$$ {a}_{100}={a}_{1}+(100-1)\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+99\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+198=$$

$$=3+198=201$$

Värdet på det 100:e elementet i talföljden är alltså 201.

Summan av värdena på de 100 första elementen i talföljden beräknar vi med hjälp av formeln för en aritmetisk summa, där n = 100. Denna summa är enkel att beräkna när vi redan känner till värdet på det 100:e elementet, a₁₀₀:

$$ {s}_{100}=\frac{100\cdot ({a}_{1}+{a}_{100})}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot (3+201)}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot 204}{2}=$$

$$=100\cdot 102=10\,200$$

Summan av värdena på de 100 första elementen i talföljden är alltså lika med 10200.

Geometriska talföljder och geometriska summor

Det andra exemplet på en talföljd, som vi träffade på i början av det här avsnittet, ser ut så här:

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

Detta är en geometrisk talföljd och även denna typ av talföljd träffade vi på i Matte 1-kursen.

Gemensamt för alla geometriska talföljder är att kvoten, k, mellan ett tal och det närmast föregående talet är konstant.

Till exempel gäller för talföljden ovan att kvoten är -1/3 mellan det andra elementet (-3) och det första elementet (9), mellan det tredje elementet (1) och det andra elementet (-3), osv. Vi kan se detta som att förhållandet mellan intilliggande element i en geometrisk talföljd är konstant.

Detta kan vi skriva på följande allmänna sätt:

$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

för n > 1.

En oändlig geometrisk talföljd följer därför följande mönster:

$${a}_{1}\cdot {k}^{0},\,{a}_{1}\cdot {k}^{1},\,{a}_{1}\cdot {k}^{2},\,...$$

och värdet på det n:te elementet kan vi beräkna med formeln

$${a}_{n}={a}_{1}\cdot {k}^{n-1}$$

Vill vi beräkna summan av de n första elementen i en geometrisk talföljd (vad som kallas en geometrisk summa) kan vi göra det med följande formel:

$${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

där s_n är summan av de n första elementen i talföljden, a₁ är talföljdens första element, och k är kvoten mellan ett tal och det närmast föregående talet i talföljden.

Ett exempel på ett användningsområde för geometriska talföljder är vid beräkning av hur kapital ökar när man har en viss ränta. Räntesatsen bestämmer då värdet på talet k som vi har räknat med ovan. Det finns även många andra fenomen som kan beskrivas med hjälp av geometriska talföljder.

Summasymbolen

När vi skriver summan av ett större antal termer har vi användning för summasymbolen ∑ (symbolen som används är den stora bokstaven sigma i det grekiska alfabetet). Med hjälp av denna symbol kan vi på ett kompakt sätt skriva en summa av ett stort antal termer.

Till exempel kan vi skriva följande summa med hjälp av summasymbolen:

$$1+2+3+\,...\,+n$$

Med summasymbolen får vi då följande uttryck:

$$\sum_{m=1}^{n}m$$

Detta tolkar vi som summan av alla termer m då variabeln m antar värden från 1 till n (alltså från det värde som står under summasymbolen, till det värde som står ovanför summasymbolen).

Även följande geometriska summa kan vi skriva med hjälp av summasymbolen (observera att det i detta fall rör sig om ett oändligt antal termer som ska summeras):

$$1+2+4+8+16+\,...$$

I det här fallet är kvoten mellan värdet på en term och den närmast föregående termen konstant och lika med 2.

Med summasymbolen får vi därför följande uttryck:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}$$

Detta tolkar vi som summan av alla tal 2^m då variabeln m antar värden från 0 till oändligheten.

I det här fallet får vi alltså följande summa:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}={2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+\,...=1+2+4+8+\,...$$