Bevisteknik

I Matte 2 kursen studerade vi hur vi inom matematiken ägnar sig åt bevisföring för att vara säker på att satser stämmer och därigenom utöka det matematiska kunskapsområdet. Bland annat såg vi hur vi kan bevisa Pythagoras sats.

I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan bevisa satser inom områdena geometri och aritmetik innan vi i nästa avsnitt introducerar induktionsbevis. 

Den matematiska bevisföringens grunder

Som vi kantade oss med i Matte 2 så stöter vi tidigt på sats, definition, axiom och bevis. Begreppet sats, vilket är ett matematiskt påstående som har bevisats utifrån definitioner, axiom och andra satser. Genom att bevisen är uppbyggda på detta sätt är det tydligt vad som avses och hur resonemangen ska tolkas och bedömas.

En definition är ett tydliggörande av ett uttrycks betydelse, vars syfte är att det inte ska råda några tvivel om vad som avses. Till exempel är följande en definition: "En rätvinklig triangel är en triangel som har en rät vinkel" (denna definition refererar dessutom till två andra definitioner, nämligen den av en triangel och en rät vinkel).

Ett axiom är en matematisk grundsats, en sats som inte kräver bevis, därför att vi kommit överens om att använda den som en del av matematikens grund.

Gemensamt för bevisföringen inom matematikens olika områden är att den är baserad på logiska resonemang snarare än empiriska undersökningar.

Bevisföring inom geometri

Vi ska nu titta närmare på hur vi bevisar satser inom geometrin. Som vi redan har nämnt bevisade vi en geometrisk sats, Pythagoras sats, redan i Matte 1-kursen.

På samma sätt som vi kan bevisa de viktiga satser som vi stött på inom geometrin i gymnasiets matematikkurser kan vi bevisa andra påståenden som vi är intresserade av.

En cirkel har radien r. Visa att en kvadrat med sidan s med längden \(s=\sqrt{\pi}\cdot r\) har en lika stor area som cirkeln.

Detta påstående kan vi bevisa utifrån satserna som anger arean för en cirkel och arean för en kvadrat.

$${A}_{cirkel}=\pi\cdot {r}^{2}$$

$${A}_{kvadrat}={s}^{2}$$

För att vårt aktuella påstående ska anses bevisat, ska vi visa att

$${A}_{cirkel}={A}_{kvadrat}$$

Vi skriver uttryckligen ut formlerna för dessa areor:

$$\pi\cdot {r}^{2}={s}^{2}$$

Eftersom vi enligt påståendet har följande samband mellan kvadratens sida och cirkelns radie

$$s=\sqrt{\pi}\cdot r$$

sätter vi in detta istället för variabeln s i ekvationen. Vi får då följande:

$$\pi\cdot {r}^{2}={(\sqrt{\pi}\cdot r)}^{2}$$

Utvecklar vi uttrycket i ekvationens högra led så får vi

$${(\sqrt{\pi}\cdot r)}^{2}=\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}\cdot r\cdot r=\pi\cdot {r}^{2}$$

Eftersom ekvationens båda led visade sig vara lika anser vi påståendet bevisat och därför utgör en sats.

En liksidig triangel har sidor med längden s. Visa att den liksidiga triangels area förändras med en faktor 4 om längden på triangelns sidor går från att vara s till att vara 2s.

Att en triangel är liksidig innebär per definition att dess tre sidor har samma längd och att dess vinklar är lika stora, 60°.

Vi kan beteckna den ursprungliga triangelns area med A₁ och den större triangelns area med A₂. Att triangelns area ska förändras med en faktor 4 om längden på triangelns sidor förändras från s till 2s innebär att

$${A}_{2}=4\cdot {A}_{1}$$

Vi kan bevisa det aktuella påståendet med hjälp av areasatsen. Areasatsen lyder:

$$A=\frac{b\cdot c\cdot sin\,\alpha}{2}$$

där b och c är längden på två av triangelns sidor, och α är storleken på den mellanliggande vinkeln.

Med denna sats kan vi skriva den ursprungliga triangelns area som

$${A}_{1}=\frac{s\cdot s\cdot sin\,{60}^{\circ}}{2}=\frac{{s}^{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}={s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$$

och den större triangelns area som

$${A}_{2}={(2s)}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=4{s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=$$

$$=4\cdot \left ( {s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \right )=4\cdot {A}_{1}$$

Vilket vi skulle visa. Därmed anser vi satsen vara bevisad.

Bevisföring inom aritmetik

Satser inom aritmetiken handlar om talens egenskaper och samband mellan tal. Aritmetiska påståenden bevisas vanligtvis med hjälp av algebra, där vi först inför lämpliga beteckningar och sedan härleder det aktuella påståendet.

Visa att produkten av två på varandra följande heltal är ett jämnt tal.

Vi börjar med att införa lämpliga algebraiska beteckningar. Vi betecknar det första heltalet n och det andra heltalet betecknar vi således n + 1.

Produkten av de båda talen blir

$$n\cdot (n+1)$$

Eftersom de två talen följer på varandra, måste antingen det första vara jämnt och det andra udda, eller tvärtom. Exakt ett av talen måste alltså vara ett jämnt tal.

När vi multiplicerar två heltal och (minst) en av faktorerna är ett jämnt tal, blir produkten ett jämnt tal. Därför måste produkten av två på varandra följande heltal vara ett jämnt tal.

I nästa avsnitt kommer vi använda oss av rekursionen från tidigare avsnitt och introducera induktionsbevis.