Definition, sats och bevis

Vi ska fortsätta upptäcka den matematiska logiken och närma oss att föra argument och logiska resonemang. I detta avsnitt ska vi titta och öva på hur vi genomför dessa resonemang. För att förtydliga och underlätta detta behöver vi införa och förtydliga några begrepp.

Definitioner och axiom

Definition

En definition är en unik beskrivning, bestämning och/eller avgränsning av ett begrepp.

Axiom

Ett axiom är grundantaganden som matematiker har kommit överens om är sanna. Med definitionerna och axiomen har vi grunden för nya satser och påståenden som väntar på att bli sanningsförklarade. Axiomen och definitionerna gäller alltid och vi behöver inte bevisa dem när de används. Definitioner kan hänvisas till och utgöra motiveringen till problemlösningens resultat.

Ett exempel på en definition är följande.

Rät linje: en kurva som är rak och är obegränsad åt båda håll.

Satser

Utifrån olika axiom och definitioner kan vi teckna matematiska påståenden. När dessa påståenden bevisats kallas de för satser. 

Vi tittar på ett bekant exempel på en sats, nämligen Pythagoras sats

För en rätvinklig triangels så är kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Pythagoras sats har i numera cirka fyra hundra olika bevis, vi kommer visa ett av dem i slutet av detta avsnitt. 

Bevis

Till skillnad från andra vetenskaper där vi kan dra slutsatser från experiment och iakttagelser så måste vi använda bevis i matematiken för att bestämma matematiska satser, som dessutom fortsätter vara sanna oavsett när det bevisats.  Ett matematiskt bevis är en följd av ett antal slutledningar. Det bygger på logiska resonemang utifrån olika bestämda axiom och definitioner och leder fram till en och samma slutsats.  

Med ett matematiskt bevis menar vi ett logiskt resonemang och argument som leder fram till vissa slutsatser, under förutsättning att antagandena stämmer och resonemanget är korrekt. 

Bevis inom matematiken har uppstått i flertalet civilisationer om och om igen men den moderna varianten som vi använder har sina rötter i Antika Grekland, ca. 300 f.Kr.  

Det var den grekiske matematikern Euklides som beskrev, i minst tretton olika böcker som kallas Euklides Elementa, en uppbyggnad av matematiken där man först anger definitioner och axiom och sedan härleder satser genom bevisföring. Definitionerna bygger upp de ”föremål” och ”objekt” som existerar inom teorin och axiomen bestämmer hur dessa relaterar till varandra och hur man kan använda dem. Med andra ord försöker definitioner och axiom beskriva vad vi arbetar med och hur vi kan arbeta med dem.  

Bevis av Pythagoras sats 

Pythagoras sats är en av de mest välgrundade satser vi har inom matematiken. Med över 400 bevis är påståendet troligen den mest bevisade satsen inom ämnet. Vi kommer titta på ett av dessa bevis.  

Först inleder vi med några definitioner. En rätvinklig triangel är en triangel med en rät vinkel. Hypotenusan som betecknas med c, kallas den längsta sidan som står mittemot den räta vinkeln. De resterande sidorna, på varsin sida om den räta vinkeln, som betecknas a och b, kallas kateter.  

När målet är att bevisa någonting brukar det vara vanligt att först nämna vad det är som ska bevisas. Jämför detta med exempelvis argumenterande texter där tesen nämns först.  

Pythagoras sats: För en rätvinklig triangels så är kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna.

$$a^2+b^2 = c^2$$

Bevis. Låt oss använda oss av en rätvinklig triangel. Nu utvidgar vi denna triangel, genom att vi bygger ut figuren med ytterligare tre likadana trianglar, så att de fyra trianglarna gemensamt bildar dels en stor fyrhörning med sidan (a + b) längdenheter, dels avgränsar en mindre fyrhörning med sidan c längdenheter, enligt figuren nedan. 

Tittar vi på fyrhörningen i mitten så är alla sidor lika långa (c längdenheter). Vid bevisföring måste vi ofta få fram delsteg för att komma fram till ett komplett bevis. I detta fall hoppas vi att fyrhörningen är en kvadrat. Sidorna är självklart lika stora så allt som är kvar är att övertyga oss själva om att vinklarna är 90 grader.  

Minns att vinkelsumman i en triangel är 180 grader. Detta är ju ett halvt varv vilket är lika stort som den röda vinkeln, den blå vinkeln och den okända, gröna vinkeln i fyrhörningen. Men, i sådana fall gäller:  

$$R+B+x= 180^{\circ} \text{ och } R+B+90^{\circ} = 180^{\circ}$$

$$\Rightarrow R+B+x = R+B+90^{\circ}$$

Detta ger oss att vinkeln x är 90 grader. Då detta stämmer i varje hörn av fyrhörningen implicerar detta att fyrhörningen är en kvadrat. Således har vi en kvadrat i mitten. 

Nästa steg är att teckna arean på den stora fyrhörningen, som också måste vara en kvadrat. Den har sidan (a + b) längdenheter, så dess area måste vara (a + b)² areaenheter. 

Samma area kan vi teckna på ett annat sätt: Vi har fyra identiska trianglar med respektive area \(\frac{a\cdot b}{2}\). Vilket ger oss att de fyra trianglarnas totala area kan tecknas som \(\frac{4\cdot a\cdot b}{2}= 2ab\)

Kvadraten i mitten har sidan \(c\) längdenheter, och dess area blir därför \(c^2\) areaenheter. 

Alltså kan vi ställa upp följande ekvation:   

Den stora kvadratens area = Fyra trianglarnas areor + den inre kvadratens area

Det motsvarar:

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Utvecklar vi VL med kvadreringsregeln får vi 

$$a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2$$

Subtraherar vi nu \(2ab\) från båda ledan får vi 

$$a^2+b^2= c^2$$

Vilket skulle bevisas (v.s.b.).  

Det är vanligt att ett bevis avslutas med ”vilket skulle bevisas” (eller förkortningen v.s.b.). Vissa använder den latinska varianten Q.E.D. (quod erat demonstrandum) eller enbart en kvadrat ( \(\Box\) eller \(\blacksquare\)) i slutet av bevis.

Sammanfattning

Definition
En definition är en unik beskrivning, bestämning och/eller avgränsning av ett begrepp.

Axiom
Ett axiom är grundantagande som matematiker har kommit överens om är sant.

Sats
Ett påstående som formellt kan bevisas kallas för en sats

Bevis
Ett eller flera logiska argument och resonemang som visar att ett påstående är sant kallar vi för ett bevis.

.