Pythagoras sats

En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss ett samband mellan en rätvinklig triangels tre sidor. Detta är en sats som man kan få användning av i väldigt många olika sammanhang.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel består av två kortare sidor, som vi kallar kateter, och en längre sida, som vi kallar hypotenusa. De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså \(90°\)) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln. I figuren nedan ser du en typisk rätvinklig triangel, med kateterna och hypotenusan markerade:

I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, följande samband mellan längden på triangelns sidor:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

där \(a\) och \(b\) är längderna på kateterna, och \(c\) är längden på hypotenusan. Summan av kateternas kvadrater är alltså lika med hypotenusan i kvadrat.

I rutan nedan har en rätvinklig triangel ritats ut. Se även att tre kvadrater har ritats ut, en för varje sida i triangeln. Det går att flytta på de gula punkterna för att få en annan rätvinklig triangel.

Testa själv och se om Pythagoras sats verkar stämma!

Exempel

De två kateterna i en rätvinklig triangel har längderna \(5\) cm respektive \(7\) cm. Hur lång är hypotenusan?

Om hypotenusan är \(x\) cm lång, ger Pythagoras sats att

$$5^{2}+7^{2}=x^{2}$$

$$25+49=x^{2}$$

$$x^{2}=74$$

$$x=\pm \sqrt{74}$$

Eftersom längden av en sträcka inte kan vara negativ så kan det bara finnas som mest ett svar, den positiva sträckan:

$$x=\sqrt{74}\approx  8,6 \text{ cm}$$

Exempel

Vi har en rätvinklig triangel, där vi vet att den ena kateterns längd är \(3\) cm och hypotenusans längd är \(5\) cm.
Vi använder Pythagoras sats för att få fram längden på den andra katetern. Vi sätter in våra kända värden och benämner längden på den okända sidan \(x\) cm.

$$3^{2}+x^{2}=5^{2}$$

$$9+x^{2}=25$$

$$9+x^{2}\color{Red}{ -9}=25\color{Red}{ -9}$$

$$x^{2}=16$$

$$x=\pm \sqrt{16}$$

$$x=4$$

Längden på den sökta kateten är \(4\) cm.