Differentialekvationer

I det här avsnittet ska vi introducera begreppet differentialekvation och studera hur sådana ekvationer kan användas. Differentialekvationer är mycket flitigt använda när det kommer till formulering av matematiska modeller inom fysiken, vilket gör studiet av differentialekvationer intressant för många olika tillämpningsområden.

Formulering av en enkel differentialekvation

En differentialekvation är en ekvation som anger sambandet mellan en okänd funktion och en eller flera av denna funktions derivator.

Ett enkelt exempel på ett samband som kan beskrivas med hjälp av en differentialekvation är förändringshastigheten vad gäller antalet bakterier i en bakterieodling. Eftersom bakterier förökar sig genom celldelning, vilken sker med en viss hastighet, kan förändringshastigheten vid en tidpunkt t anses vara proportionell mot antalet bakterier vid tidpunkten t.

Detta gör att vi kan formulera följande differentialekvation, som beskriver situationen:

$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$

där y'(t) betecknar förändringshastigheten avseende antal bakterier vid tidpunkten t, och y(t) betecknar antalet bakterier vid tidpunkten t, och k är en proportionalitetskonstant.

Verifiering av en differentialekvations lösning

Lösningen till en differentialekvation är en funktion som uppfyller den likhet som ekvationen uttrycker, det vill säga en funktion som gör att differentialekvationens vänstra led blir lika med dess högra led. Lösningen utgör alltså inte ett tal, som i den typ av ekvationer som vi har stött på tidigare, utan istället en funktion.

I vårt tidigare exempel med bakterieodlingen innebär en lösning till ekvationen att vi hittat ett uttryck för funktionen y(t) som gör att ekvationens båda led blir lika (VL = HL).

Eftersom det i detta exempel gäller att den sökta funktionens derivata ska vara proportionell mot funktionen själv, söker vi en typ av funktion som har just den egenskapen. En sådan funktion har vi stött på tidigare, nämligen exponentialfunktioner. Vi kommer därför att kunna skriva lösningen på denna differentialekvation som

$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$

där C är en konstant som anger antalet bakterier vid tidpunkten t = 0, och k är proportionalitetskonstanten.

Att denna funktion är en lösning till vår formulerade differentialekvation kan vi se genom att vi deriverar funktionen med hjälp av våra redan kända deriveringsregler för exponentialfunktioner, vilket ger oss följande derivata:

$$y\,'(t)=k\cdot C\cdot {e}^{kt}$$

Sätter vi in uttrycken för funktionen och funktionens derivata i vår differentialekvation, så får vi

$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$

$$k\cdot C\cdot {e}^{kt}=k\cdot (C\cdot {e}^{kt})$$

Eftersom ekvationens vänstra led nu är lika med dess högra led har vi hittat en lösning till differentialekvationen.

Vi är intresserade av att beräkna förändringshastigheten räknat i antal bakterier per timme i vårt tidigare exempel vid en viss tidpunkt, säg t = 10 timmar efter experimentets början.

Om vi vet att antalet bakterier vid experimentets början (t = 0 timmar) var 1000 st. och att tillväxten var 10 % per timme, då får vi följande differentialekvation:

$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)$$

Utifrån att vi har sett att en lösning på differentialekvationen ska ha formen

$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$

vet vi att k = 0,10 (proportionalitetskonstanten) och C = 1000 (antalet bakterier vid experimentets början). Därför måste funktionen vara

$$y(t)=1000\cdot {e}^{0,10t}$$

Detta ger oss förändringshastigheten

$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)=$$

$$=0,10\cdot (1000\cdot {e}^{0,10t})=$$

$$=100\cdot e^{0,10t}$$

Förändringshastigheten vid tiden t = 10 timmar blir då

$$y\,'(10)=100\cdot e^{0,10\cdot 10}=$$

$$=100\cdot {e}^1=100e\approx270$$

Vid tidpunkten t = 10 timmar ökar alltså antalet bakterier i bakterieodlingen med ungefär 270 bakterier per timme.

Differentialekvationers ordning

I exemplet ovan, där vi formulerade en differentialekvation som uttryckte förändringshastigheten för antalet bakterier i en bakterieodling, var förstaderivatan (y'(t)) den högsta ordningens derivata som förekom i differentialekvationen. Därför var också differentialekvationen av första ordningen.

Har vi istället en differentialekvation som innehåller en funktions andraderivata, då är detta en differentialekvation av andra ordningen. Ett exempel på en sådan differentialsekvation av andra ordningen är följande:

$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$

På samma sätt som för differentialekvationer av första ordningen, kan vi testa om en lösning satisfierar en differentialekvation av andra ordningen genom att vi beräknar funktionens första- och andraderivata och sedan genom insättning undersöker om VL = HL.

Vi tittar på ett exempel

Vi har följande differentialekvation av andra ordningen:

$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$

Undersök om följande funktion är en lösning till denna differentialekvation:

$$y(x)=10\cdot {e}^{2x}$$

För att undersöka om den givna funktionen är en lösning, behöver vi först beräkna dess första- och andraderivata, vilka vi beräknar med de redan kända deriveringsreglerna för exponentialfunktioner.

$$y\,'(x)=2\cdot 10\cdot {e}^{2x}=20\cdot {e}^{2x}$$

$$y\,''(x)=2\cdot 20\cdot {e}^{2x}=40\cdot {e}^{2x}$$

När vi nu känner till funktionens första- och andraderivata, sätter vi in dessa i differentialekvationens vänstra led (VL):

$$40\cdot {e}^{2x}-4\cdot (20\cdot {e}^{2x})+4\cdot (10\cdot {e}^{2x})=$$

$$=40\cdot {e}^{2x}-80\cdot {e}^{2x}+40\cdot {e}^{2x}=0$$

Nu kan vi se att VL = HL i differentialekvationen, så den givna funktionen är alltså en lösning.

Bestäm värdet på k så att \(y={e}^{kt}\) är en lösning till differentialekvationen \(y\,''+2y\,'-3y=0\)

För att bestämma möjliga värden på k börjar vi med att beräkna första- och andraderivatan av vår givna funktion. Därefter kan vi sätta in våra funna första- och andraderivata i differentialekvationen och därefter bestämma k.

Vi får

$$y\,'(t)=k\cdot {e}^{kt}$$

$$y\,''(t)=k\cdot k\cdot {e}^{kt}={k}^{2}\cdot {e}^{kt}$$

Sätter vi in dessa uttryck i differentialekvationen så får vi

$${k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2\cdot (k\cdot {e}^{kt})-3\cdot ({e}^{kt})=$$

$$={k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2k\cdot {e}^{kt}-3\cdot {e}^{kt}=$$

$$=({k}^{2}+2k-3)\cdot {e}^{kt}=0$$

Nu kan vi använda nollproduktsmetoden för att hitta värden på konstanten k.

För att differentialekvationens vänsterled ska vara lika med dess högerled, det vill säga lika med noll, måste antingen

$${k}^{2}+2k-3=0$$

eller

$${e}^{kt}=0$$

En potens med basen e kan inte anta värdet 0, så vi fokuserar istället på den andragradsekvation som vi formulerade av k-termerna. Denna andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln, vilket ger oss

$$k_1=-3 $$

$$k_2=1$$

Differentialekvationen har alltså lösningarna

$$y(t)={e}^{-3t}$$

$$y(t)={e}^{t}$$

Leibniz notation

Hittills har vi till exempel skrivit \(y^{\prime} (x)\) när vi menar förstaderivatan av funktionen \(y = f(x)\), \(y^{\prime \prime}(x)\) när vi menar andraderivatan, och så vidare. Denna notation vad gäller derivator kallas Lagranges notation, döpt efter den franske matematikern Comte Joseph Louis Lagrange

Ofta när vi har att göra med differentialekvationer använder vi sig emellertid av en annan notation för derivator, kallad Leibniz notation, döpt efter tyska filosofen och matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz. När vi avser första- respektive andraderivatan har vi följande sätt att skriva med hjälp av Lagranges notation och Leibniz notation:

$$y'(x)=\frac{dy}{dx}$$

$$y''(x)=\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$$

Nedan har vi ett exempel, där vi har skrivit samma differentialekvationer av andra ordningen dels med Lagrange notation och dels med Leibniz notation:

$$y''+3y'+5y=0$$

$$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+3\frac{dy}{dx}+5y=0$$

Att använda Leibniz notation kan uppfattas som mer omständigt än Lagrange notation, men den kan ändå underlätta vissa beräkningar och är så vanligt förekommande att man bör vänja sig vid denna notation.