pq-formeln

I det förra avsnittet stötte vi på kvadratkomplettering, som är en metod som vi kan använda för att lösa fullständiga andragradsekvationer. I det här avsnittet ska vi gå igenom ytterligare en metod för lösning av fullständiga andragradsekvationer, nämligen pq-formeln. Pq-formeln går att härledas med hjälp av kvadratkomplettering och är en mycket praktiskt användbar metod.

Som vi har sett tidigare kan fullständiga andragradsekvationer skrivas på formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c är konstanter, och a är skilt från noll.

För att kunna använda den metod som vi introducerar i det här avsnittet, den så kallade pq-formeln, behöver vi först skriva om denna allmänna ekvation, så att andragradsekvationen står på formen

$$x^{2}+px+q=0$$

vilket vi gör genom att dividera samtliga termer i ekvationen med koefficienten a (om a har något annat värde än 1; om a = 1, så innebär det att divisionen inte behöver utföras).

Detta är samma önskade form som vi stötte på i avsnittet om kvadratkomplettering.

Koefficienterna p och q i denna ekvation är vad som gett namnet åt den lösningsmetod som vi ska gå igenom. p och q är alltså definierade så här i förhållande till de koefficienter (a, b och c) som vi använde för att beskriva den fullständiga andragradsekvationen tidigare i det här avsnittet:

$$p=\frac{b}{a}\;\;\;och\;\;\;q=\frac{c}{a}\\$$

Man har helt enkelt dividerat koefficienterna a, b och c med a, så att x²-termen får koefficienten 1.

pq-formeln lyder som följer:

$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$

Det vill säga att x, lösningen på andragradsekvationen, är densamma som halva koefficienten för x-termen med ombytt tecken, plus/minus roten ur kvadraten för halva koefficienten för x-termen minus konstanttermen.

Användning av pq-formeln

För att visa hur formeln fungerar i praktiken använder vi oss av följande exempel

$$4x^{2}+32x+28=0$$

Vi börjar med att konstatera att denna andragradsekvation inte står på den form som vi behöver för att kunna använda pq-formeln - koefficienten framför x²-termen är ju inte lika med 1.

Därför måste vi först dividera samtliga termer i ekvationen med 4 och får därigenom:

$$\frac{4x^{2}}{4}+\frac{32x}{4}+\frac{28}{4}=\frac{0}{4}$$

$$x^{2}+8x+7=0$$

När andragradsekvationen nu står i rätt form kan vi gå vidare och använda pq-formeln.

I det första steget identifierar vi våra p- respektive q-värden, vilka vi kan läsa av direkt i vår ekvation:

$$p=8$$

$$q=7$$

När vi väl har dessa värden återstår bara att stoppa in p- och q-värdet i pq-formeln.

Vi får:

$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$$

$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$$

$$x=-4\pm\sqrt{9}$$

$$x=-4\pm 3$$

Härifrån får vi våra två rötter till:

$$\\\left\{\begin{matrix} x_{1}=-4+3=-1\\ \\ x_{2}=-4-3=-7 \end{matrix}\right. \\$$

Som vi ser är båda rötterna reella lösningar. En andragradsekvation har alltid två lösningar. Det är däremot inte säkert att alla lösningar är reella. Härnäst ska vi titta närmare på under vilka villkor en andragradsekvation kommer att ha två reella lösningar, en reell lösning, eller sakna reella lösningar.

Diskriminanten

Uttrycket under rottecknet i pq-formeln,

$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$

kallas för ekvationens diskriminant. Värdet på diskriminanten talar om för oss hur många reella lösningar som andragradsekvationen har.

Är diskriminanten större än noll har andragradsekvationen två reella lösningar. Är diskriminanten lika med noll har andragradsekvationen en reell lösning (ekvationen har en dubbelrot). Är diskriminanten mindre än noll saknar andragradsekvationen reella lösningar.

Vi sammanfattar de tre olika fallen:

$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q>0\Rightarrow 2\;reella\;lösningar$$

$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q=0\Rightarrow 1\;reell\;lösning$$

$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q<0\Rightarrow inga\;reella\;lösningar$$

När vi räknar med en konkret andragradsekvation innebär det här i praktiken att vi i det första fallet kommer att få ett positivt värde att dra roten ur, i det andra fallet ett noll-värde att dra roten ur (det vill säga hela "roten ur"-uttrycket kommer att bli lika med noll), och i det tredje fallet ett negativt värde att dra roten ur, vilket ger att det saknas reella lösningar.

Härledning av pq-formeln

pq-formeln kan härledas med hjälp av kvadratkomplettering av en allmän andragradsekvation. I den här avsnittsdelen ska vi visa hur det kan gå till, för den som är intresserad.

Vi börjar med en andragradsekvation skriven på formen

$$x^{2}+px+q=0$$

Det första steget blir att flytta över konstanttermen q till det högra ledet genom att subtrahera q från båda sidorna. Vi får då följande:

$$x^{2}+px+q{\color{Red} \,-\,q}=0{\color{Red} \,-\,q}$$

$$x^{2}+px=-q$$

I nästa steg vill vi hitta det tal d som vi vill addera till ekvationen för att kunna bilda ett kvadrerat uttryck i det vänstra ledet.

Värdet på talet d kan vi räkna ut som

$$d=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}$$

Och kompletterar båda sidorna med konstanten d

$$x^{2}+px+ \left (\frac{p}{2} \right )^{2}=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$

Vi vet att vi härifrån kan skriva om vänsterledet med hjälp av kvadreringsreglerna eftersom vi valt ett tal d med just detta syfte, så vi får:

$$\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q$$

Härifrån tar vi sen kvadratroten ur båda sidorna

$$\sqrt{\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$

$$x+\left (\frac{p}{2} \right )=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$

Och sedan löser vi ut x

$$x+\left (\frac{p}{2} \right ){\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}{\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}$$

$$x=-\left ( \frac{p}{2} \right )\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$

Som vi kan se har vi nu fått fram pq-formeln, som vi i fortsättningen kan använda för att relativt enkelt hitta lösningar till andragradsekvationer. I själva verket fungerar pq-formeln även bra på de andragradsekvationer som inte är fullständiga, men att använda den i de fallen kan innebära onödigt arbete, eftersom det för de specialfallen finns andra metoder som vi kan använda.