Newton-Raphsons metod

Newtons metod, eller Newton-Raphsons metod är en algoritm som går ut på att approximera ett nollställe till en given funktion \(f(x)\), med tillräcklig noggrannhet. Det är alltså en numerisk metod och den är relativt enkel att använda. I det här avsnittet kommer vi gå igenom algoritmen och sedan visa hur den kan användas för att hitta ett nollställe till funktionen \(f(x)=x^2-4\).

Metoden

Om vi har en funktion \(f(x)\) och vill ta reda på något nollställe till funktionen kan vi använda oss av Newton-Raphsons metod. Metoden börjar med att vi väljer ett startvärde \(x\), säg \(x=x_0\). Efter detta beräknar vi \(f'(x_0)\) och tar reda på tangentens ekvation. Tangenten till funktionen \(f(x)\) i punkten \(x_0\) har ekvationen

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

enligt enpunktsformeln. Nu tar vi reda på var denna tangent skär \(x\)-axeln, det vill säga där \(y=0\)

$$\begin{align}0&=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\&\iff\\&x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\\&\iff\\&x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\end{align}$$

Detta upprepas med det nya \(x\)-värdet, som är värdet där tangenten skär \(x\)-axeln. Den rekursiva formeln är alltså:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Denna rekursion kan upprepas tills vi har ett \(x\)-värde som är tillräckligt nära ett nollställe till funktionen \(f(x)\). Upprepningen kallas för en iterativ process.

Exempel

Vi ska nu ta reda på ett av nollställena till funktionen \(f(x)=x^2-4\) med hjälp av Newton-Raphsons metod. Vi börjar med att ta reda på derivatan av funktionen:

$$f'(x)=2x$$

Vi väljer nu ett startvärde, säg \(x_0=3\). Då får vi, enligt formeln ovan, att

$$\begin{align}x_1&=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\\&=3-\frac{f(3)}{f'(3)}\\&=3-\frac{3^2-4}{2\cdot 3}\\&=3-\frac{5}{6}=\frac{13}{6}\end{align}$$

Nu stoppar vi in \(x_1\) i formeln och får:

$$x_2=\frac{13}{6}-\frac{\left(\frac{13}{6}\right)^2-4}{2\cdot \frac{13}{6}}=\frac{313}{156}\approx 2,01$$

Detta värde är väldigt nära det egentliga nollstället \(x=2\), så vi nöjer oss här! 

Den här metoden kan även användas till att approximera kvadratroten ur ett tal, tredjeroten ur ett tal och så vidare. Säg till exempel att vi vill ta reda på \(\sqrt{8231}\). Detta kan skrivas om till ekvationen:

$$x^2=8231$$

Så om vi ansätter \(f(x)=x^2-8231\) kan vi använda Newton-Raphsons metod till att approximera kvadratroten ur 8213. Testa gärna att utföra algoritmen för att hitta kvadratroten.