Monty Hall-problemet

Monty Hall-problemet är ett av de mest kända problemen inom sannolikhetsteorin. Det är baserat på det amerikanska TV-programmet Let's make a deal och är uppkallat efter programledaren Monty Hall.

När lösningen på problemet publicerades i en tidning fick redaktionen ungefär 10000 brev från läsarna där cirka 1000 var från läsare med en doktorsexamen. Alla menade att lösningen inte kan stämma. Även när bevis, datorsimulationer och olika förklaringar publicerades var det fortfarande många som inte ville tro på resultatet.

Problemet

Antag att du är med i ett spel. Spelet går ut på att du ska välja en dörr av tre. Bakom två av dörrarna står det en get och bakom en av dörrarna står det en splitterny bil.

Efter att du har valt en dörr, öppnar spelledaren en av de andra dörrarna och visar att det gömde sig en get bakom den dörren. Efter det frågar spelledaren om du vill behålla din dörr, eller om du vill byta? Om du väljer dörren med bilen bakom, vinner du bilen.

Du vill ha bilen, så vad ska du göra?

Lösning:

Det kan verka som att det inte spelar någon roll om du byter eller inte. Bakom en av dörrarna finns en bil och bakom den andra finns det en get, så då borde väl sannolikheten vara 50%?

Detta är dock inte fallet. Svaret på frågan är att du ska byta dörr, eftersom då är sannolikheten att du får bilen 2/3 och 1/3 att du får geten. Vi löser detta med hjälp av en tabell.

I följande tabell antar vi att du väljer den första dörren och visar alla olika utfall som kan hända.

Som vi ser i tabellen vinner du bilen 1 av 3 gånger om du väljer att behålla dörren, medan du vinner bilen i 2 av 3 fall om du väljer att byta dörr. Alltså är det bättre att byta dörr.

Rent intuitivt kan det vara svårt att förstå konceptet. Om vi istället spelar samma spel fast med 1000 dörrar blir det oftast lite enklare att förstå resonemanget. 

Tänk dig att spelet nu istället är att du får välja en av 1000 dörrar. Efter att du har valt en dörr öppnar spelledaren 998 stycken dörrar. Bakom alla visade dörrar finns en get.

Det finns nu två dörrar kvar, ska du behålla din första gissning eller byter du?

Det här spelet är ett tydligt exempel på betingad sannolikhet. Betingningen här är att du först har valt en dörr. Om spelledaren hade visat alla 998 dörrar innan du gjorde valet, hade sannolikheten att välja bilen varit 50%.