Matriser

Matriser är otroligt användbart inom en rad olika områden inom matematiken. I det här avsnittet kommer vi gå igenom vad en matris är och några räknesätt för matriser. Nästa avsnitt behandlar Gausselimination.

En matris är ett rektangulärt schema av tal och talen i matrisen kallas för element. Matriser består av rader och kolumner. En matris kan se ut på följande sätt:

$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}$$

Matrisen A har 2 rader och 3 kolumner, vi säger att A är en \(2\times 3\)-matris. Elementen indexeras genom att först skriva vilken rad elementet är på, sedan vilken kolumn. Exempelvis är \(b_{13}=7\) i matrisen B:

$$B=\begin{pmatrix}5 & -3 & 7 \\ 0 & 32 & 3,14\end{pmatrix}$$

Addition och subtraktion

För att kunna addera två matriser A och B måste A och B ha samma form. Med samma form menas att matris A och matris B har lika många rader och lika många kolumner. Det vill säga, om A är en \(n\times m\)-matris måste även B vara det.

Om vi till exempel har matriserna

$$A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -4 & 5\end{pmatrix}$$

och

$$B=\begin{pmatrix}7 & 9\\ 3 & -8\end{pmatrix}$$

kan vi addera dem (för att båda är \(2\times2\) matriser):

$$\begin{align}A+B&=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -4 & 5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7 & 9\\ 3 & -8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3+7 & 2+9\\-4+3 & 5-8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}10 & 11\\ -1 & -3\end{pmatrix}\end{align}$$

Formellt skriver vi att om \(C=A+B\) så gäller det att \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\).

För att utföra subtraktionen gör vi på samma sätt som med addition, men istället för att addera elementvis, subtraherar vi. Om \(C=A-B\) så är \(c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\):

$$\begin{align}A-B&=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -4 & 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7 & 9\\ 3 & -8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3-7 & 2-9\\ -4-3 & 5-(-8)\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-4 & -7\\ -7 & 13\end{pmatrix}\end{align}$$

Multiplikation med skalär

En matris A kan multipliceras med en skalär. En skalär är ett tal \(k\) och vi skriver \(kA\). Multiplikationen utförs elementvis, det vill säga att elementen i \(kA\) är \(ka_{ij}\).

Låt k=10, då är kA:

$$\begin{align}kA&=10\begin{pmatrix}3 & 2\\ -4 & 5\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}10\cdot 3 & 10\cdot 2\\ 10\cdot(-4) & 10\cdot 5\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}30 & 20\\ -40 & 50\end{pmatrix}\end{align}$$

Här spelar formen på matrisen ingen roll, utan vi kan alltid multiplicera en matris med en skalär.

Matrismultiplikation

Att multiplicera matriser med varandra är inte fullt lika rakt på som addition, subtraktion eller multiplikation med en skalär. En viktig sak med matrismultplikation är att den inte är kommutativ. Alltså, i allmänhet menas det att:

$$AB\neq BA$$

För att produkten AB ska vara definierad måste antalet kolumner i A vara lika med antalet rader i B. Om A är en är en \(n\times m\)-matrix måste alltså B vara en \(m\times p\)-matris för att vi ska kunna utföra multiplikationen \(C=AB\).

Om matrisen A och B är som ovan kommer C=AB vara en \(n\times p\)-matris. Alla element i C fås genom att 

$$c_{ij}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\dots+a_{i,n}b_{n,j}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$$

Informellt kan vi säga att vi "multiplicerar raden i A med kolumnen i B". Vi illustrerar med ett exempel.

Exempel

Låt

$$A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & -1\\-5 & 10\end{pmatrix}$$

vilket är en \(3\times 2\)-matris, och

$$B=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -8 & 6\end{pmatrix}$$

som är en \(2\times 2\)-matris. Eftersom antalet kolumner i A är 2, och antalet rader i B också är 2, kan vi utföra multiplikationen C=AB:

$$\begin{align}C=AB&=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & -1\\-5 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ -8 & 6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\cdot2+3\cdot(-8) & 1\cdot1+3\cdot6\\ 4\cdot2+(-1)(-8) & 4\cdot1+(-1)\cdot6\\(-5)\cdot2+10\cdot(-8) & (-5)\cdot1+10\cdot6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-22 & 19\\ 16 & -2\\-90 & 55\end{pmatrix}\end{align}$$

Transponering

Det finns en till matrisoperation som används flitigt, denna operation kallas för transponering. Transponering utförs genom att vi roterar matrisen längs diagonalen. Det som menas med detta är att varje rad i en matris A blir en kolumn. Vi betäcknar "A-transponat" med \(A^T\).

Exempel

Om

$$A=\begin{pmatrix}{\color{red} a}& {\color{red}b} & {\color{red}c}\\ d & e & f\end{pmatrix}$$

så är

$$A^T=\begin{pmatrix}{\color{red} a} & d\\{\color{red} b} & e\\{\color{red} c}& f\end{pmatrix}$$

Enhetsmatrisen

Enhetsmatrisen är den multiplikativa enheten. Det är alltid en kvadtratisk matris och betecknas ofta med \(E_n\) för att visa att det är en \(n\times n\)-matris, där n är ett heltal.

Att det är den multiplikativa enheten innebär att

$$A=E_nA=AE_n$$

för alla \(n\times n\)-matriser A. Enhetsmatrisen är en matris som består av ettor längs huvuddiagonalen och nollor överallt annars. Enhetsmatrisen \(E_3\) ser ut såhär:

$$E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$