Betingad sannolikhet

Det kan vara intressant att ta reda på sannolikheten att en händelse B inträffar, givet att händelsen A redan har inträffat. Detta kalla för betingad sannolikhet och vi skriver:

$$P(B|A)$$

Det som står ovan utläses "Sannolikheten för händelse B betingat av händelse A", eller "Sannolikheten för B givet A". Vi börjar med att titta på ett exempel, sen skriver vi ned definitionen för betingad sannolikhet och slutligen tittar vi på ett till exempel.

Exempel

Låt händelse A="Du drar en kung ur en kortlek" och händelse B="Du drar en kung ur en kortlek". Vad är sannolikheten P(B|A)?

Lösning:

Eftersom händelsen A redan har inträffat finns det 51 kort kvar i kortleken, varav 3 är kungar. Alltså är

$$P(B|A)=\frac{3}{51}$$

Definition

Låt \(A\) och \(B\) vara två händelser och antag att \(P(A)>0\). Då är den betingade sannolikheten för händelsen \(B\), givet att \(A\) har inträffat, definierad som:

$$P(B|A):=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$

Att det står \(:=\) innebär inom matematiken att det till vänster om tecknet definieras som det till höger.

Exempel

Vid en hastighetskontroll på en motorväg visade det sig att 40% av alla bilar körde för fort. 5% av alla bilar körde mer än 30km/h över hastighetsbegränsningen, vilket innebär att körkortet dras in. 

Vad är sannolikheten, givet att köra för fort, att körkortet dras in?

Lösning:

Låt A vara händelsen att köra för fort, och B händelsen att körkortet dras in (att köra mer än 30km/h över hastighetsbegränsningen). Då är \(P(B|A)\) den sökta sannolikheten. \(B\cap A\) beskriver händelsen "att köra 30km/h över hastighetsbegränsningen och att köra för fort". Det är självklart att alla som kör 30km/h över hastighetsbegränsningen även kör för fort, alltså är \(B\cap A=B\). Vi får:

$$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0,05}{0,4}=12,5\%$$

Detta innebär att sannolikheten att körkortet dras in om man kör för fort är 12,5%.

Övning 1:

Två händelser, A och B, sägs vara oberoende om:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

En annan definition för att två händelser är oberoende är att

$$P(A|B)=P(A)$$

där P(B)>0. Visa att dessa definitioner är ekvivalenta.