Andelen, delen och det hela

I det här avsnittet ska vi bekanta oss närmare med procent och sambandet mellan andelen, delen och det hela. Det sambandet kommer vi att ha användning för längre fram, då vi lär oss om procentuella förändringar.

Skriva bråktal i procentform

Vi har tidigare kommit fram till att 100 % är samma sak som det hela, det vill säga hundra hundradelar av någonting.

Eftersom det hela är 100 %, kan vi med hjälp av förlängning komma fram till att till exempel hälften av det hela är lika med 50 %, det vill säga

$$ \frac{1}{2}=\frac{1\,{\color{Red} {\cdot \,50}}}{2\,{\color{Red}{ \cdot \,50}}}=\frac{50}{100}=50\,\%$$

På samma sätt kan vi komma fram till hur vi skriver ett antal andra användbara bråktal i procentform:

$$\frac{1}{100}=1\,\%$$

$$\frac{1}{10}=\frac{10}{100}=10\,\%$$

$$\frac{1}{5}=\frac{20}{100}=20\,\%$$

$$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\,\%$$

---

Skriv detta bråktal i procent

$$ \frac{1}{25}$$

Lösningsförslag:

Vi skriver om bråktalet genom att vi förlänger talet så att nämnaren blir lika med 100. Då är talet skrivet så att täljaren anger antalet procent. Förlänger vi bråket med 4 så får vi det här:

$$ \frac{1}{25}=\frac{1\,{\color{Red} {\cdot \,4}}}{25\,{\color{Red} {\cdot \,4}}}=\frac{4}{100}=4\,\%$$

Svar: 1/25 detsamma som 4 %.

---

Andelen, delen och det hela

Det finns ett samband som vi kan använda oss av för att beräkna hur många procent en viss del av det hela är. Sambandet lyder:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

Med andelen menar vi alltså hur stor del av det hela som något är, vilket vi kan ange i procent.

Om vi till exempel har en skolklass bestående av 20 elever och 12 av dessa elever är pojkar, då kan vi med hjälp av förlängning beräkna hur många procent pojkar det finns i klassen så här:

$$ andelen=\frac{12}{20}=\frac{12\,{\color{Red} {\cdot \,5}}}{20\,{\color{Red} {\cdot \,5}}}=\frac{60}{100}=60\,\%$$

Andelen pojkar i klassen är alltså 60 %.

Istället för att förlänga ett bråk så att nämnaren blir lika med 100, kan vi beräkna värdet av bråket genom att vi dividerar täljaren med nämnaren. Då får vi vanligtvis ett decimaltal. Till exempel kan vi beräkna bråket 1/5 som

$$ \frac{1}{5}=0,2$$

Det decimala talet 0,2 tolkar vi som två tiondelar, vilket är detsamma som 20 %:

$$ 0,2=\frac{2}{10}=\frac{20}{100}=20\,\%$$

---

Hur mång procent av frukterna är apelsiner?

I en skål med fem stycken frukter är fyra av frukterna apelsiner och en av frukterna är en banan. Räkna ut hur många procent av frukterna som är apelsiner.

Lösningsförslag:

Vi börjar med att undersöka vad som är det hela och vad som är delen.

Det hela är antalet frukter som finns i skålen. Det finns fem stycken frukter i skålen, så detta är det hela.

Delen som vi är intresserade av är antalet apelsiner i skålen. Det finns fyra stycken apelsiner i skålen, så detta är delen.

Vi räknar ut antalet procent genom att dividera delen med det hela:

$$andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{antalet\,apelsiner}{antalet\,frukter}=$$

$$=\frac{4}{5}=\frac{4\,{\color{Red} {\cdot \,20}}}{5\,{\color{Red}{ \cdot \,20}}}=\frac{80}{100}=80\,\%$$

Svar: Andelen apelsiner av frukterna i skålen är 80 %.

---

Hur många procent av eleverna går i årskurs 7?

I en viss skola går 200 elever. Av dessa elever går 72 stycken i årskurs 7. Räkna ut hur många procent av eleverna går i årskurs 7.

Lösningsförslag:

Vi börjar med att undersöka vad som är det hela och vad som är delen.

Det hela är antalet elever som går i skolan, vilket är 200 stycken elever.

Delen som vi är intresserade av är antalet elever som går i årskurs 7, vilket är 72 stycken elever.

Vi räknar ut antalet procent genom att dividera delen med det hela. I det här fallet är det hela mer än 100, så vi får förkorta bråket:

$$andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{antalet\,elever\,i\,\overset{\,_{\circ}}{a}rskurs\,7}{antalet\,elever\,i\,skolan}=$$

$$=\frac{72}{200}=\frac{\,\,\frac{72}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{200}{{\color{Red} 2}}}=\frac{36}{100}=36\,\%$$

Svar: Andelen elever som går i årskurs 7 är alltså 36 %.

---

Videolektioner

I den här videon går vi igenom andelen, delen och det hela, samt vad begreppen betyder.

I den här videon går vi igenom sambandet mellan andelen, delen och det hela.