Vad är en ekvation?
I det förra avsnittet undersökte vi hur vi kan teckna uttryck med variabler.
Nu ska vi titta närmare på hur vi kan skriva att två uttryck är lika med varandra. Det gör vi med hjälp av ekvationer.
Vad är en ekvation?
Vi har tidigare övat på att teckna och beräkna uttryck.
Ibland vill vi kunna skriva att ett uttryck är lika med ett annat uttryck. Det kan vi göra genom att vi tecknar en ekvation.
En ekvation är helt enkelt en likhet, att ett uttryck är lika med ett annat. När vi tecknar en ekvation har vi på den vänstra sidan ett uttryck och på den högra sidan ett annat uttryck. Mellan de båda uttrycken skriver vi ett likhetstecken, =, eftersom de båda uttrycken är lika med varandra.
Låt oss titta på ett exempel på en ekvation, som vi redan har träffat på i avsnittet om uttryck med variabler:
Kent har x stycken stenkulor. Hans syster Katarina har (x + 5) stycken stenkulor, det vill säga 5 stycken fler stenkulor än vad Kent har. Om vi vet att Katarina har 13 stycken stenkulor, då kan vi skriva en ekvation som beskriver att (x + 5) är lika med 13:
$$ x+5=13$$
När vi har tecknat en ekvation av den här typen, då kan vi undersöka vilket värde som variabeln x måste ha, eftersom de båda uttrycken är lika med varandra.
I vårt exempel måste variabeln x ha värdet 8, eftersom
$$ 8+5=13$$
När vi har hittat vilka värden som variablerna i en ekvation måste ha, då säger vi att vi har löst ekvationen. Eftersom variabeln x ska ha värdet 8 för att de båda uttrycken i ekvationen ska vara lika med varandra, skriver vi lösningen på ekvationen så här:
$$ x=8$$
Att skriva ekvationer och sedan lösa dem är en vanlig metod som används för att lösa problem med hjälp av matematik. I nästa avsnitt ska vi titta närmare på hur vi kan göra för att lösa ekvationer.
Teckna en ekvation
Nu ska vi öva på att teckna ekvationer
Ivar har varit och handlat i affären. Han kommer inte ihåg exakt hur mycket pengar han hade med sig när han gick till affären, men han vet att det han köpte i affären var en tidning som kostade 20 kr och att han hade 70 kr kvar i plånboken när han kom ut ur affären.
Undersök med hjälp av en ekvation hur mycket pengar Ivar hade med sig till affären.
Lösningsförslag:
Vi kan kalla de pengar som Ivar hade med sig till affären x kr. Vi vet också att han köpte en tidning för 20 kr. Det innebär att vi kan teckna ett uttryck för hur mycket pengar han har kvar när han lämnar affären som ser ut så här:
$$ (x-20)\,kr$$
Vi vet också att han skulle ha 70 kr kvar när han lämnar butiken, så därför kan vi teckna den här ekvationen:
$$ x-20=70$$
Nu har vi tecknat en ekvation.
Men vad vi ville ta reda på var ju hur mycket pengar Ivar hade med sig till affären, det vill säga vilket värdet på x ska vara. Vilket värde måste x ha för att de båda uttrycken i ekvationen är lika?
Det enda värde på x som gör att den vänstra sidan av ekvationen blir lika med den högra sidan är 90:
$$ 90-20=70$$
Nu har vi alltså hittat lösningen på ekvationen:
$$ x=90$$
Vad vi har kommit fram till nu är att Ivar måste ha haft med sig 90 kr när han gick till affären.
Ebba har en storasyster som heter Emma, som är dubbelt så gammal som Ebba är. Om Ebba var 7 år äldre skulle hon vara lika gammal som Emma.
Teckna en ekvation för storasyster Emmas ålder. Hur gamla måste systrarna vara?
Lösningsförslag:
Vi kan kalla Ebbas ålder x år. Eftersom vi vet att hennes storasyster Emma är dubbelt så gammal som Ebba, kan vi teckna ett uttryck för storasyster Emmas ålder som ser ut så här:
$$ 2x$$
Vi vet också att om lillasyster Ebba var 7 år äldre så skulle hon vara lika gammal som storasyster Emma. Därför kan vi teckna ett andra uttryck för Emmas ålder:
$$ x+7$$
Nu har vi två uttryck för Emmas ålder och de båda uttrycken ska vara lika. Därför kan vi teckna en ekvation, som ser ut så här:
$$ 2x=x+7$$
Hur gammal måste Ebba vara för att den här ekvationen ska stämma? Det enda värde på Ebbas ålder x som fungerar är 7. Lösningen på ekvationen är därför
$$ x=7$$
Sätter vi in detta värde på x i ekvationen så får vi
$$2\cdot 7=7+7 $$
$$14=14$$
Det vänstra uttrycket får samma värde som det högra uttrycket: 14. Det här betyder att vi också vet att storasyster Emma måste ha åldern 14 år.
Systrarna Ebba och Emma är alltså 7 respektive 14 år gamla.