Procentuella förändringar
I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi kan räkna med procent, till exempel när vi vill beräkna hur många procent en viss del utgör av det hela. Det kunde röra sig om att beräkna att 50 kr av 200 kr utgör 25 %.
Nu ska vi gå vidare och undersöka hur vi kan räkna på procentuella förändringar, det vill säga när något ökar eller minskar med en viss procentsats.
Räkna med procentuell minskning
Tänk dig att du är i en klädbutik och ser ett par byxor som vanligtvis har priset 400 kr. Men denna vecka har butiken rea på just dessa byxor, så priset har sänkts med 20 %. Du undrar hur stor prissänkningen är i kronor räknat. Du undrar också hur mycket byxorna kostar under rean.
I det här fallet känner vi till hur mycket byxorna vanligtvis kostar, vilket är 400 kr. Detta kan vi se som det hela. Vi vet också att priset sänkts med 20 %, vilket är andelen som är sänkningen. Vad vi vill ta reda på är hur stor delen är, det vill säga hur stor prissänkningen är i kronor räknat.
För att ta reda på det kan vi tänka på samma sätt som vi gjorde i det förra avsnittet, då vi beräknade delen när vi kände till andelen och det hela. Sambandet ser då ut så här:
$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$
Med det här sambandet räknar vi ut hur stor prissänkningen var i kronor:
$$ delen=andelen\cdot det\,hela=$$
$$=20\,\%\cdot 400\,kr=$$
$$=0,20\cdot 400\,kr=$$
$$=0,10\cdot 2\cdot 400\,kr=$$
$$=0,10\cdot 800\,kr=80\,kr$$
Vad vi har räknat ut nu är att 20 % av 400 kr är 80 kr. Prissänkningen på 20 % var alltså i kronor räknat 80 kr.
Vi är också intresserade av att räkna ut vad byxorna kostar under rean.
Eftersom vi vet att prissänkningen var 80 kr blir det nya priset skillnaden mellan det gamla priset och prissänkningen i kronor räknat:
$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset-prissänkningen=$$
$$=400\,kr-80\,kr=320\,kr$$
Priset på byxorna under rean var alltså 320 kr.
På motsvarande sätt kan vi räkna även på andra procentuella minskningar än prissänkningar.
I en klädbutik kostar en viss jacka 700 kr. Sedan sänks priset på jackan med 25 %. Beräkna vad jackan kostar efter prissänkningen.
Vi börjar med att beräkna hur stor prissänkningen är i kronor räknat. Det gör vi med sambandet som vi visade tidigare i avsnittet:
$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$
Delen utgörs i det här fallet av prissänkningen i kronor. Som vi såg i avsnittet om andelen, delen och det hela är 25 % samma sak som 1/4, vilket betyder att vi kan beräkna prissänkningen så här:
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$
$$=0,25\cdot 700\,kr=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot 700\,kr=\frac{700}{4}\,kr=$$
$$=\frac{\,\,\frac{700}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{4}{{\color{Red} 2}}}\,kr=\frac{350}{2}\,kr=175\,kr$$
Prissänkningen var alltså 175 kr.
Det nya priset på jackan blir skillnaden mellan det gamla priset och prissänkningen, så vi beräknar det nya priset som
$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset-prissänkningen=$$
$$=700\,kr-175\,kr=525\,kr$$
Det nya priset efter prissänkningen blev alltså 525 kr.
Räkna med procentuell ökning
Hur skulle vi göra för att beräkna det nya priset på en produkt om priset istället ökade med en viss procent?
När priset ökar får vi beräkna hur stor ökningen är i kronor räknat. Sedan beräkna vi summan av det gamla priset och prisökningen i kronor för att få det nya priset.
Till exempel kan priset på ett par byxor från början vara 400 kr. Sedan höjer butiken priset på byxorna med 20 %. Vi vill nu ta reda på vilket det nya priset på byxorna kommer att vara.
Först beräknar vi hur stor del i kronor räknat som andelen 20 % av 400 kr är. Vi får på samma sätt som tidigare i det här avsnittet
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$
$$=0,20\cdot 400\,kr=80\,kr$$
Prisökningen i kronor räknat är alltså 80 kr. Det gamla priset var ju 400 kr, så det nya priset efter prisökningen blir
$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset+prisökningen=$$
$$=400\,kr+80\,kr=480\,kr$$
Ett visst år är hyran för en lägenhet 3 000 kr per månad. Året därefter höjs hyran med 2 %. Beräkna vad den nya hyran för lägenheten blir efter hyreshöjningen.
För att beräkna den nya hyran beräknar vi först hur stor hyreshöjningen är i kronor räknat.
Hyreshöjningen är 2 % av den gamla hyran, som var 3 000 kr. Hyreshöjningen i kronor kan vi därför beräkna som andelen 2 % av det hela (3 000 kr). Därför blir hyreshöjningen i kronor räknat
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$
$$=0,02\cdot 3\,000\,kr=$$
$$=0,01\cdot 2\cdot 3\,000\,kr=$$
$$=0,01\cdot 6\,000\,kr=60\,kr$$
Hyreshöjningen är 60 kr per månad.
Den nya hyran kan vi beräkna som summan av den gamla hyran och hyreshöjningen i kronor räknat, vilket ger oss det här:
$$den\,nya\,hyran=den\,gamla\,hyran+hyreshöjningen= $$
$$=3\,000\,kr+60\,kr=3\,060\,kr$$
Den nya hyran blev alltså 3 060 kr per månad.
Videolektioner
I den här videon går vi igenom procentuella förändringar med hjälp av ett exempel.
I den här videon går vi igenom ett exempel på en prissänkning.
I den här videon går vi igenom ett exempel på en hyreshöjning.