Räkna med procent

I det här avsnittet ska vi bygga vidare på det genom att räkna mer med procent.

Avrundning av procent

Som vi såg i avsnittet om bråktal är det inte alltid möjligt att genomföra en division så att den går jämnt ut.

Till exempel vet vi att bråket 1/3 har det decimala värdet

$$ \frac{1}{3}=0,3333...$$

Med andra ord har bråket 1/3 oändligt många decimaler då det är skrivet i decimalform.

Ett sätt att tolka bråket 1/3 är förhållandet mellan delen (1) och det hela (3). Det decimala värdet 0,3333… kan vi se som 33,33… %.

Ibland vill vi ange ett avrundat procentvärde, till exempel avrundat till hela procent. Då får vi

$$ \frac{1}{3}=0,3333...=33,33... \%\approx33\,\%$$

En tredjedel är därför ungefär 33 %, avrundat till hela procent.

---

Skriv dessa tal i procentform.

Avrunda till tiondels procent.

1. $$0,875$$
   När vi ska omvandla ett tal från decimalform till procentform får vi tolka vad siffrorna i decimaltalet är värda.

   Heltalssiffran är 0, vilket betyder att talet i procentform blir mindre än 100 %.

   Tiondelssiffran är 8, vilket ger oss 80 %.

   Hundradelssiffran är 7, vilket ger oss ytterligare 7 %.

   Tusendelssiffran är 5, vilket slutligen ger oss ytterligare 0,5 %.

   Sammanlagt blir talet i procentform summan

   $$ 80\,\%+7\,\%+0,5\,\%=87,5\,\%$$

   Talet 0,875 skrivet i procentform är 87,5 %. I det här fallet behövde vi inte avrunda talet i procentform, eftersom det redan står skrivet i den form vi är ute efter.

   ---

2. $$\frac{2}{3}$$
   I det här fallet har vi ett tal i bråkform. Hur kan vi komma fram till hur många procent det är?

   Jo, vi kom tidigare fram till hur vi kan skriva 1/3 i procentform:

   $$ \frac{1}{3}=0,3333...=33,33... \%\approx33\,\%$$

   När vi har bråktalet 2/3 är det dubbelt så mycket som 1/3. Därför kan vi skriva det så här:

   $$\frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=2\cdot 0,3333...= $$

   $$=0,6666...=66,66...\,\%$$

   Eftersom vi ska avrunda vårt svar till tiondels procent, tittar vi på siffran som anger hundradels procent, vilket är en 6:a. Reglerna för avrundning säger oss att en 6:a betyder att vi ska öka avrundningssiffran med 1.

   Därför får vi det här närmevärdet när vi avrundar till tiondels procent:

   $$\frac{2}{3}=66,66...\,\%\approx66,7\,\%$$

Räkna procent i affären

Om du går till en klädbutik med 300 kr i plånboken och köper en tröja för 120 kr, hur många procent av de 300 kronorna gick då åt när du köpte tröjan? Hur många procent av de 300 kronorna återstod efter köpet?

Vi tänker tillbaka på sambandet mellan andelen, delen och det hela, som vi gick igenom i ett tidigare avsnitt:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

Om vi ser de 300 kronorna som det hela och tröjans pris på 120 kr som delen, då kan vi beräkna hur stor andel av det hela som 120 kr är. Vi får då det här:

$$ andelen=\frac{120}{300}=\frac{\,\,\frac{120}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{40}{100}=40\,\%$$

Priset för tröjan, 120 kr, var alltså 40 % av de 300 kronorna du hade i plånboken när du gick in i butiken.

Hur många procent av de 300 kronorna återstår efter köpet?

Eftersom de 300 kronorna är 100 % av de pengar du hade och du sedan köpte för 40 % av pengarna, återstår 100 % minus 40 %:

$$ 100\,\%-40\,\%=60\,\%$$

De pengar som återstår i plånboken är alltså 60 % av de pengar du hade med dig när du gick in i butiken. Vi kunde räkna på det här sättet eftersom vi redan hade beräknat hur stor andel av pengarna som gått åt i köpet.

Ett annat sätt att beräkna hur många procent av pengarna som återstår är att först beräkna hur stor del av det hela som det är. Sedan kan vi beräkna hur stor andel som detta är:

Först hade du 300 kr. Sedan köpte du för 120 kr. Då hade du så här mycket pengar kvar i plånboken:

$$ 300\,kr-120\,kr=180\,kr$$

Hur stor andel av 300 kr utgör 180 kr? Vi använder sambandet mellan andelen, delen och det hela. I det här fallet är delen 180 kr, eftersom vi undersöker hur mycket pengar som är kvar.

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{180}{300}=\frac{\,\,\frac{180}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{60}{100}=60\,\%$$

Hur stor är delen?

Vi har tidigare beräknat hur många procent av det hela som en viss del utgör. Till exempel kan det vara hur många procent som delen 120 kr av 300 kr är, vilket är 40 %.

Nu ska vi titta på en liknande situation, där vi kan beräkna hur stor delen är.

Syskonen Michael och Therese har sparat pengar för att köpa en fin cykel tillsammans. Eftersom Therese kommer att använda cykeln mer än Michael, har syskonen kommit överens om att hon ska betala 60 % av priset för cykeln, medan Michael ska betala 40 %.

Therese undrar nu hur mycket hon kommer att behöva betala i kronor räknat, om cykeln kostar 600 kr.

I det fallet vet vi hur mycket cykeln kostar, vilket är 600 kr. Därför kan vi se 600 kr som det hela. Vi vet också att den andel av 600 kr som Therese ska betala är 60 %. Vad vi vill ta reda på är hur stor delen är, som Therese ska betala.

För att ta reda på det kan vi använda en variant av sambandet mellan andelen, delen och det hela, som ser ut så här:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Med hjälp av det här sambandet kan vi räkna ut hur stor del av priset i kronor räknat som Therese ska betala. Vi börjar med att skriva om andelen 60 % i decimalform, som 0,60:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=60\,\%\cdot 600\,kr=$$

$$=0,60\cdot 600\,kr=$$

$$=0,10\cdot 6\cdot 600\,kr=$$

$$=0,10\cdot 3600\,kr=360\,kr$$

Vad vi har beräknat nu är att den del av cykelns pris som Therese ska betala är 360 kr.

---

Beräkna hur mycket

1. $$15\,\%\,av\,300\,kr\,är.$$
   Vi använder sambandet mellan andelen, delen och det hela, där 15 % är andelen och 300 kr är det hela. Vi får att 15 % av 300 kr är

   $$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

   $$=0,15\cdot 300\,kr=$$

   $$=0,01\cdot 15\cdot 300\,kr=$$

   $$=0,01\cdot 4500\,kr=45\,kr$$

   Svar: 15 % av 300 kr är alltså 45 kr.

   ---

2. $$7\,\%\,av\,800\,kr\,är.$$
   På samma sätt som i den förra deluppgiften, använder vi här sambandet mellan andelen, delen och det hela, där 7 % är andelen och 800 kr är det hela. Vi får att 7 % av 800 kr är

   $$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

   $$=0,07\cdot 800\,kr=$$

   $$=0,01\cdot 7\cdot 800\,kr=$$

   $$=0,01\cdot 5600\,kr=56\,kr$$

   Svar: 7 % av 800 kr är alltså 56 kr.

---

Videolektioner

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar andelen.

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar delen.

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar det hela.

Här har vi ett par exempel på prissänkningar.