Teckna och beräkna uttryck

I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan teckna uttryck utifrån de fyra räknesätten och hur vi sedan kan beräkna värdet av sådana uttryck.

Teckna uttryck

Om vi befinner oss i en affär och vill beräkna hur mycket varorna vi vill köpa kommer att kosta, då kan vi teckna ett matematiskt uttryck för det. Att "teckna" ett uttryck betyder att vi skriver ett uttryck.

Har vi till exempel tänkt köpa tre varor och dessa varor kostar 20 kr, 18 kr och 12 kr, då kan vi teckna ett uttryck för det totala priset för varorna som

$$ 20+18+12$$

Just det här uttrycket ovan innehöll bara räknesättet addition, men vi kan även skriva uttryck som innehåller subtraktion, multiplikation och division. Ett exempel på ett uttryck som innehåller alla fyra räknesätten kan skrivas så här:

$$2\cdot3+4/5-6$$

Beräkna värdet av uttryck

Även om det är bra att kunna teckna matematiska uttryck, så måste vi även kunna beräkna värdet av sådana uttryck. Vi behöver därför vara överens om hur vi beräknar värdet av uttryck, så att två personer tolkar ett uttryck likadant och vi undviker missförstånd.

Tidigare tecknade vi ett uttryck för hur mycket tre varor kommer att kosta i en affär:

$$ 20+18+12$$

Hur beräknar vi värdet av detta uttryck? Vi kan göra det på olika sätt och få samma summa. Till exempel kan vi först addera de två första termerna (20 och 18) och sedan den återstående termen (12). Då får vi den här uträkningen:

$$20+18+12=$$

$$=38+12=50$$

Vi skulle också kunna först addera de två sista termerna (18 och 12) och sedan den första termen (20). Då hade vi istället fått den här uträkningen:

$$20+18+12=$$

$$=20+30=50$$

I det här exemplet spelade det alltså ingen roll i vilken ordning vi summerade termerna. Summan blev ändå densamma.

Men ibland spelar det stor roll i vilken ordning vi beräknar uttryck. Vi ska nu undersöka ett sådant uttryck, där ordningen som vi beräknar uttrycket i spelar stor roll.

Om vi ska köpa ett paket apelsinjuice för 12 kr och tre paket mjölk för 7 kr per paket, då kan vi teckna ett uttryck för vad detta kostar som ser ut så här:

$$ 12+3\cdot 7$$

Vi kan tolka uttrycket som 12 kr för apelsinjuicen plus 3 gånger 7 kr för mjölken.

Hur beräknar vi värdet av detta uttryck, som ju innehåller både en addition och en multiplikation?

Om vi beräknar additionen först, då adderar vi först termerna 12 och 3, och sedan multiplicerar vi summan vi får med faktorn 7. Då räknar vi så här:

$$12+3=15$$

$$15\cdot 7=105$$

Var för sig är dessa delberäkningar rätt, men priset på varorna ska ju inte vara 105 kr. Det är alldeles för mycket! Att det blir fel kan vi märka genom att vi istället kan teckna uttrycket enbart som en summa av fyra termer (paketet apelsinjuice och tre paket mjölk):

$$ 12+7+7+7=33$$

Priset ska alltså vara 33 kr, inte 105 kr, så något måste ha gått fel.

Om vi istället beräknar multiplikationen först i vårt uttryck, då multiplicerar vi först faktorerna 3 och 7, och sedan adderar vi den produkt vi får med termen 12. I det här fallet räknar vi så här:

$$3\cdot 7=21$$

$$12+21=33$$

När vi räknade på det här sättet blev svaret precis det vi var ute efter: totalt 33 kr för ett paket apelsinjuice och tre paket mjölk.

Det här var ett exempel på hur räkneordningen spelar roll. När vi har ett matematiskt uttryck som vi vill beräkna, ska vi i själva verket alltid multiplicera och dividera först, och sedan addera och subtrahera. Det är i den ordningen vi ska använda de fyra räknesätten.

Om vi ändå vill addera eller subtrahera före det att vi multiplicerar eller dividerar, då får vi lov att sätta in en parentes i uttrycket, som gör att vi förstår att vi först ska addera eller subtrahera. Vill vi till exempel att

$$ 12+3\cdot 7$$

ska bli lika med 105, då måste vi skriva ut en parentes, så att uttrycket blir så här istället:

$$ (12+3)\cdot 7$$

Ska vi beräkna värdet av detta uttryck, så beräknar vi först värdet av uttryck som står inom parentesen. Sedan multiplicerar vi detta värde med faktorn 7. Då får vi alltså

$$ (12+3)\cdot 7=15\cdot 7=105$$

Räkneordning

När vi ska beräkna värdet av ett uttryck gör vi alltså det i den här ordningen:

1. Parenteser
2. Multiplikation och division
3. Addition och subtraktion

Följer vi den här räkneordningen så kommer vi att få ut rätt värde när vi beräknar ett uttryck.

Räkneordningen kallas ibland prioriteringsordningen eller prioritetsreglerna.

---

Beräkna detta uttryck

$$5 \cdot 2 + 12/ (4-2)$$

Uttrycket innehåller en parentes, så enligt räkneordningen ska vi beräkna uttrycket som står inom parentesen först. Vi beräknar värdet av uttrycket inom parentesen och får

$$ 4-2=2$$

Det här kan vi nu sätta in i vårt uttryck, som blir

$$5 \cdot 2+12/(4-2)=$$

$$= 5\cdot 2 +12/2$$

Nu finns det inte några fler parenteser i uttrycket, så vi går vidare till räknesätten multiplikation och division. Uttrycket innehåller både en produkt och en kvot, så vi beräknar dessa:

$$5\cdot 2= 10$$

$$12/2=6$$

Dessa delresultat sätter vi också in i vårt uttryck, vilket ger oss det här:

$$= 5\cdot 2 +12/2=10+6$$

Nu består vårt uttryck bara av en summa av två termer, så vi beräknar denna summa:

$$10+6=16$$

Nu har vi alltså kommit fram till det här:

$$5 \cdot 2+12/(4-2)=16$$

---

Videolektioner

I den här videon går vi igenom prioriteringsreglerna (räkneordningen) och när vi måste använda dem.

I den här videon går vi igenom hur vi tecknar ett matematiskt uttryck.

I den här videon går vi igenom räkneordningen och hur vi beräknar ett uttryck med räkneordningen.