Addition och subtraktion av bråk
I tidigare avsnitt har vi repeterat vad bråktal är och hur vi kan förkorta eller förlänga bråktal.
I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan addera och subtrahera bråktal. Vi kommer att märka att vi har stor användning för förkortning och förlängning av bråktal när vi adderar eller subtraherar bråktal.
Bråktal med gemensamma nämnare
När vi ska addera två bråktal som har samma nämnare, då skriver vi talet på ett gemensamt bråkstreck och adderar de båda termernas täljare; nämnaren blir densamma som tidigare.
Till exempel kan vi vilja beräkna den här summan av två bråktal:
$$ \frac{1}{5}+\frac{2}{5}$$
Vi skriver summan på ett gemensamt bråkstreck och adderar termernas täljare:
$$ \frac{{\color{Blue} 1}}{5}+\frac{{\color{Red} 2}}{5}=\frac{{\color{Blue} 1}+{\color{Red} 2}}{5}=\frac{3}{5}$$
På motsvarande sätt gör vi när vi ska subtrahera två bråktal som har samma nämnare. Skillnaden är att vi då subtraherar termernas täljare.
Till exempel kan vi beräkna den här differensen av två bråktal:
$$ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}$$
Vi skriver differensen på ett gemensamt bråkstreck och subtraherar termernas täljare:
$$ \frac{{\color{Blue} 3}}{5}-\frac{{\color{Red} 2}}{5}=\frac{{\color{Blue} 3}-{\color{Red} 2}}{5}=\frac{1}{5}$$
Bråktal med olika nämnare
Som vi såg ovan är det enkelt att addera eller subtrahera två bråktal om de har samma nämnare.
Om vi vill addera eller subtrahera två bråktal som har olika nämnare, då måste vi först skriva om minst ett av bråktalen, så att de båda bråktalen får samma nämnare. Det kan vi göra med hjälp av förkortning eller förlängning.
När vi väl har skrivit om bråktalen så att de har samma nämnare, kan vi beräkna summan eller differensen på precis samma sätt som vi gick igenom tidigare i det här avsnittet.
Vi ska nu räkna tre exempel där vi först måste skriva om bråktalen med hjälp av fortkortning och förlängning så att de har gemensam nämnare, för att sedan kunna utföra addition eller subtraktion av bråktalen.
Beräkna summan
$$ \frac{2}{5}+\frac{1}{3}$$
Vi ser att de båda termerna har olika nämnare (5 och 3). Därför måste vi skriva om bråktalen så att de har gemensamma nämnare.
Vi kan skriva om bråktalen så att de får nämnaren 15, eftersom
$$ 5\cdot 3=15$$
För att skriva om det första bråktalet så att det får nämnaren 15 förlänger vi detta bråk med 3:
$$ \frac{2}{5}=\frac{{\color{Blue} 3}\cdot 2}{{\color{Blue} 3}\cdot 5}=\frac{6}{15}$$
På motsvarande sätt skriver vi om det andra bråktalet så att det också får nämnaren 15 genom att förlänga detta bråk med 5:
$$ \frac{1}{3}=\frac{{\color{Blue} 5}\cdot 1}{{\color{Blue} 5}\cdot 3}=\frac{5}{15}$$
Nu har vi skrivit om de båda bråktalen så att de har den gemensamma nämnaren 15. Därför kan vi skriva om vår ursprungliga summa så här:
$$ \frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}$$
Eftersom de båda bråktalen nu har samma nämnare (15), kan vi enkelt addera bråktalen genom att skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och addera termernas täljare:
$$ \frac{{\color{Blue} 6}}{15}+\frac{{\color{Red} 5}}{15}=\frac{{\color{Blue} 6}+{\color{Red} 5}}{15}=\frac{11}{15}$$
Nu har vi adderat de båda bråktalen och den summa, elva femtondelar, som vi kom fram till går inte att förenkla ytterligare. Därför står detta bråktal i enklaste form.
Beräkna differensen
$$ \frac{2}{5}-\frac{1}{3}$$
På samma sätt som i det förra exemplet ser vi att termerna har olika nämnare (5 och 3). Därför förlänger vi båda bråktalen, så att de får den gemensamma nämnaren 15, på precis samma sätt som i det förra exemplet.
Vi får följande:
$$ \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{6}{15}-\frac{5}{15}$$
De båda bråktalen har nu samma nämnare (15), så vi subtraherar bråktalen genom att skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och subtrahera termernas täljare, så här:
$$ \frac{{\color{Blue} 6}}{15}-\frac{{\color{Red} 5}}{15}=\frac{{\color{Blue} 6}-{\color{Red} 5}}{15}=\frac{1}{15}$$
Nu har vi subtraherat de båda bråktalen och differensen, en femtondel, som vi kom fram till går inte att förenkla ytterligare. Därför står detta bråktal i enklaste form.
Beräkna differensen
$$ \frac{10}{12}-\frac{1}{6}$$
Vi ser direkt att de båda termerna har olika nämnare (12 och 6). I det här fallet finns det flera olika sätt att skriva om bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. Antingen kan vi skriva om bråktalen så att de får nämnaren 12 eller också kan vi skriva om dem så att de får nämnaren 6.
Om vi gör så som vi gjorde i de tidigare exemplen, så förlänger vi bråket 1/6 med 2 för att skriva detta bråktal med nämnaren 12:
$$ \frac{1}{6}=\frac{{\color{Blue} 2}\cdot 1}{{\color{Blue} 2}\cdot 6}=\frac{2}{12}$$
Nu kan vi skriva om det ursprungliga uttrycket och enkelt beräkna differensen:
$$ \frac{10}{12}-\frac{2}{12}=\frac{10-2}{12}=\frac{8}{12}$$
Det här är ett sätt att lösa uppgiften. Men vi kan också skriva om bråktalen så att de får den gemensamma nämnaren 6. Det gör vi genom att vi förkortar 10/12 med 2, vilket vi kan göra eftersom både täljaren 10 och nämnaren 12 är jämnt delbara med 2. Förkortar vi detta bråktal med 2 får vi det här:
$$ \frac{10}{12}=\frac{\,\,\frac{10}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 2}}}=\frac{5}{6}$$
Nu kan vi skriva om det ursprungliga uttrycket och enkelt beräkna differensen:
$$ \frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}$$
Vi kan nu se att vi fick två olika bråktal beroende på vilken gemensam nämnare vi använde. I det första fallet fick vi bråktalet 8/12 och i det andra fallet bråktalet 4/6. I själva verket är detta bara två olika sätt att skriva samma värde.
Om vi vill skriva svaret i enklaste form så förkortar vi, vilket i det första fallet ger oss
$$ \frac{8}{12}=\frac{\,\,\frac{8}{{\color{Red} 4}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 4}}}=\frac{2}{3}$$
och i det andra fallet ger det oss
$$ \frac{4}{6}=\frac{\,\,\frac{4}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{6}{{\color{Red} 2}}}=\frac{2}{3}$$
I slutändan fick vi alltså samma svar oavsett vilket av de båda lösningssätten vi använde.
Videolektioner
Här går vi igenom addition och subtraktion med bråktal som har samma nämnare.
Här går vi igenom addition och subtraktion med bråktal som har olika nämnare.
I den här videon går vi igenom addition och subtraktion av bråktal.