Potenser

I det här avsnittet ska vi lära oss om potenser, vilket är ett användbart sätt att skriva upprepade multiplikationer. Potenser används i många olika sammanhang och i nästa avsnitt ska vi lära oss mer om ett sådant, nämligen hur vi kan skriva tal i grundpotensform.

Vad är en potens?

Vi vet sedan tidigare att om vi har en summa av ett antal likadana termer, så kan vi skriva den mer kortfattat. Har vi till exempel följande summa

$$ 5+5+5+5+5+5=30$$

så kan vi mer kortfattat skriva den med hjälp av räknesättet multiplikation, så här:

$$ 5\cdot 6=30$$

På liknande sätt kan vi ha en produkt av likadana faktorer, till exempel den här produkten:

$$ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15625$$

Även denna typ av uttryck vill vi kunna skriva i en mer kortfattad form. Vi ser att talet 5 multipliceras med sig självt 6 gånger, vilket betyder att vi kan skriva det så här:

$$ {5}^{6}$$

Ett uttryck skrivet i den här formen kallar vi en potens. En potens består av en bas och en exponent. Basen är det tal som ska multipliceras med sig självt och exponenten anger hur många gånger basen ska multipliceras. I exemplet här ovanför är därför talet 5 basen och talet 6 är exponenten, vilket vi uttalar som "fem upphöjt till sex".

Allmänt skriver vi en potens i den här formen:

$$ {bas}^{exponent}$$

Är ett tal skrivet i denna form så säger vi att talet är skrivet i potensform.

Ju fler gånger ett tal ska multipliceras med sig självt, desto mer användbart blir det att skriva produkten i potensform. Är det talet 2 som ska multipliceras med sig självt och vi ska multiplicera det hundra gånger, då blir det klumpigt att skriva ut faktorn 2 hundra gånger. Istället kan vi skriva produkten så här i potensform:

$$ {2}^{100}$$

---

Skriv dessa produkter i potensform

$$a)\,2\cdot 2\cdot 2$$

$$b)\,7\cdot 7\cdot 7\cdot 7$$

$$c)\,x\cdot x$$

Lösningsförslag:

a)

När vi ska skriva ett tal i potensform ska vi identifiera värdet på basen och exponenten.

Eftersom basen är det tal som ska multipliceras med sig självt, inser vi att basen måste vara lika med 2. Exponenten är antalet gånger som basen ska multipliceras, så exponenten måste vara lika med 3.

Därför får vi att vi kan skriva om produkten i potensform så här:

$$ 2\cdot 2\cdot 2={2}^{3}$$

b)

På samma sätt som i den förra deluppgiften, identifierar vi basen och exponenten. Basen är lika med 7 och exponenten är lika med 4. Därför kan vi skriva om produkten i potensform så här:

$$ 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7={7}^{4}$$

c)

I den här deluppgiften har vi en produkt som består av ett okänt värde x som ska multipliceras med sig självt. Talet x är vad vi från årskurs 7 vet kallas en variabel, vilket i det här sammanhanget betyder att det är ett okänt värde.

När vi vill skriva om den här produkten i potensform gör vi precis likadant som om värdet på variabeln var känt: vi identifierar basen och exponenten. Basen är därför lika med x och exponenten är lika med 2, eftersom variabeln x ska multipliceras med sig självt två gånger.

Därför kan vi skriva om produkten i potensform så här:

$$ x\cdot x={x}^{2}$$

---

Beräkna värdet av dessa potenser

$$a)\,{5}^{3}$$

$$b)\,{3}^{4}$$

Lösningsförslag:

a)

Vi börjar med att tolka vad potensens bas och exponent betyder. Basen är 5, vilket betyder att det är talet 5 som ska multipliceras med sig självt. Exponenten är 3, vilket betyder att det är 3 gånger som basen 5 ska multipliceras.

Därför får vi det här värdet av potensen:

$$ {5}^{3}=5\cdot 5\cdot 5=25\cdot 5=125$$

b)

I den här deluppgiften har vår givna potens basen 3 och exponenten 4.

Därför får vi det här värdet av potensen:

$${3}^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=$$

$$=9\cdot 3\cdot 3=27\cdot 3=81$$

---

Potenser och räkneordningen

I årskurs 7 gick vi igenom hur vi tecknar och beräknar uttryck. Då kom vi bland annat fram till att det är viktigt att vi följer en viss räkneordning när vi ska räkna ut ett uttrycks värde om uttrycket innehåller olika räknesätt.

Räkneordningen som gäller är att vi först beräknar värdet av parenteser. Sedan beräknar vi multiplikationer och divisioner, och slutligen utför vi addition och subtraktion.

Potenser är ju samma sak som upprepade multiplikationer. När en potens ingår i ett uttryck så ska potensens beräknas efter parenteser men före andra multiplikationer och divisioner.

Räkneordningen är därför:

1. Parenteser
2. Potenser
3. Multiplikation och division
4. Addition och subtraktion

---

Beräkna värdet av följande uttryck

$$ \frac{4}{{2}^{{}^{3}}}+1$$

Vi använder oss av räkneordningen för att beräkna uttrycket i rätt ordning.

Eftersom uttrycket inte innehåller någon parentes börjar vi direkt med att beräkna värdet av potensen:

$$ {2}^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$$

När vi nu vet värdet av potensen, 8, kan vi sätta in detta värde i vårt ursprungliga uttryck:

$$ \frac{4}{{2}^{{}^{3}}}+1=\frac{4}{8}+1$$

Uttrycket innehåller inga fler potenser, så vi går vidare och beräknar kvoten mellan täljaren 4 och nämnaren 8, och slutligen addition:

$$ \frac{4}{8}+1=\frac{1}{2}+1=1,5$$

Värdet av uttrycket är alltså lika med 1,5, vilket vi kom fram till genom att vi följde räkneordningen steg för steg.

---

Videolektioner

Här går vi igenom potenser.

Här går vi igenom prioriteringsreglerna när potenser är med.

I den här videon går vi igenom potenser.

I den här videon går vi igenom multiplikation och division av potenser.

I den här videon går vi igenom kvadratrötter och andra rötter.