Förkortning och förlängning

Nu ska vi undersöka hur vi kan gå tillväga för att skriva om bråktal så att bråktalet har olika täljare och nämnare, utan att förändra dess värde. Det gör vi med hjälp av metoderna förkortning och förlängning, som vi tidigare har träffat på i årskurs 7.

I nästa avsnitt kommer vi att gå igenom hur vi adderar och subtraherar bråktal. Då är det viktigt att vi behärskar förkortning och förlängning av bråk.

Förkortning

I avsnittet om bråktal kom vi fram till att

$$ \frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$

Just i det här fallet var det ganska enkelt att se att de båda bråktalen är lika (till exempel kan vi tänka på en tårta som vi delar i 8 eller 4 tårtbitar. I det första fallet kommer tårtbitarna att vara hälften så stora som i det andra fallet). Dessutom är bråktalet 3/4 skrivet i enklaste form, eftersom vi inte kan skriva om bråktalet så att det får en mindre nämnare.

Ibland kan vi ha en täljare och nämnare som gör det svårare att komma på hur vi kan skriva bråktalet i enklaste form. Ett exempel på ett sådant lite mer komplicerat bråktal är:

$$ \frac{24}{42}$$

För att förenkla detta bråk använder vi förkortning. Förkortning innebär att vi dividerar både täljaren och nämnaren med ett visst heltal, vilket gör att bråktalet skrivs i en enklare form. Dock måste vi komma ihåg att vi bara får dividera med sådana heltal som både täljaren som nämnaren är jämnt delbara med.

I vårt inledande exempel dividerade vi med 2, eftersom både täljaren 6 och nämnaren 8 är jämnt delbara med 2:

$$ \frac{6}{8}=\frac{\,\,\frac{6}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{8}{{\color{Red} 2}}}=\frac{3}{4}$$

På samma sätt kan vi förkorta andra bråktal. Till exempel kan vi förkorta bråktalet 24/42, som vi stötte på i tidigare stycke, med samma metod. I detta bråktal är täljaren och nämnaren också jämnt delbara med 2, vilket betyder att vi kan dela både täljaren och nämnaren med 2:

$$ \frac{24}{42}=\frac{\,\,\frac{24}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{42}{{\color{Red} 2}}}=\frac{12}{21}$$

Det här bråktalet är nu skrivet i en enklare form, men vi kan faktiskt förkorta det ännu mer. Täljaren 12 är jämnt delbar med 2, men det är inte nämnaren 21, så vi kan inte förkorta med 2. Däremot är både täljaren och nämnaren jämnt delbara med 3, så vi kan förkorta bråktalet med 3:

$$ \frac{12}{21}=\frac{\,\,\frac{12}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{21}{{\color{Red} 3}}}=\frac{4}{7}$$

Nu har vi förkortat vårt ursprungliga bråktal två gånger, men nu kan vi inte förkorta mer eftersom bråktalet nu står i enklaste form:

$$ \frac{24}{42}=\frac{4}{7}$$

---

I en klass finns 30 elever. Av eleverna är 18 stycken flickor. 

Teckna ett bråk för hur stor andel av eleverna som är flickor. Förkorta sedan bråktalet till dess det är skrivet i enklaste form.

Lösningsförslag:

Om 18 av de 30 eleverna är flickor, då kan vi teckna det här bråket för hur stor andel av eleverna som är flickor:

$$ \frac{18}{30}$$

Det här bråktalet kan vi förkorta, vilket vi gör i flera steg:

$$ \frac{18}{30}=\frac{\,\,\frac{18}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{30}{{\color{Red} 2}}}=\frac{9}{15}=\frac{\,\,\frac{9}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{15}{{\color{Red} 3}}}=\frac{3}{5}$$

Nu är bråktalet skrivet i enklaste form.

---

Förlängning

Som vi såg ovan är förkortning en metod som gör att vi kan förenkla bråktal, vilket innebär att bråktalets täljare och nämnare blir mindre utan att bråktalets värde förändras. Ibland vill vi kunna skriva om ett bråktal så att det istället får en större täljare och nämnare utan att bråktalets värde förändras.

I sådana situationer använder vi oss av förlängning. När vi förlänger ett bråktal, multiplicerar vi täljaren och nämnaren med ett visst heltal.

---

Vi förlänger detta bråktal så att nämnaren blir lika med 100

$$ \frac{7}{20}$$

Vilket heltal ska vi multiplicera nämnaren med för att produkten ska bli lika med 100?

$$ \square \cdot 20=100$$

Det måste vara 5, vilket betyder att vi ska förlänga vårt ursprungliga bråktal med en faktor 5:

$$ \frac{7}{20}=\frac{{\color{Blue} 5\,\cdot}\, 7}{{\color{Blue} 5\,\cdot}\, 20}=\frac{35}{100}$$

Nu har vi förlängt vårt ursprungliga bråktal, så att bråktalet har den önskade nämnaren 100:

$$ \frac{7}{20}=\frac{35}{100}$$

---

Videolektioner

Här går vi igenom hur vi förkortar bråktal.

Här går vi igenom hur vi förlänger bråktal.

I den här videon går vi igenom förkortning och förlängning av bråktal.