Multiplikation av parenteser

Att förenkla uttryck har vi övat på tidigare och i det här avsnittet ska vi undersöka hur vi kan förenkla uttryck som innehåller multiplikation av en parentes.

Multiplikation av parenteser

Vi vet att räkneordningen säger oss att vi först ska beräkna värdet av parenteser i uttryck. Men det finns situationer då det som står inuti parentesen inte kan förenklas mer.

Ett exempel på ett uttryck där vi inte kan förenkla en parentes ytterligare är

$$ 3(x+4)$$

Vill vi ändå förenkla det här uttrycket som helhet måste vi göra oss av med parentesen. Det gör vi genom att vi tar bort parentesen samtidigt som vi multiplicerar i det här fallet talet 3 med x och 4, och sedan summerar de produkter vi får.

Sammantaget skriver vi det så här:

$$3\cdot ({\color{Blue} x}+{\color{Red} 4})=$$

$$=3\cdot {\color{Blue} x}+3\cdot {\color{Red} 4}=$$

$$=3x+12$$

Man brukar säga att vi nu har "multiplicerat in 3 i parentesen".

Genom att sätta in olika värden på variabeln x kan vi se att det går att räkna så här. Till exempel x = 5 ger oss detta värde på uttrycket som helhet:

$$3\cdot (x+4)=$$

$$=3\cdot (5+4)=$$

$$=3\cdot 9={\color{Blue} {27}}$$

vilket ger samma resultat som det förenklade uttrycket

$$3x+12=$$

$$=3\cdot 5+12=$$

$$=15+12={\color{Blue}{27}}$$

Allmänt gäller att om vi har tre tal a, b och c, så kan vi "multiplicera in" talet a så här:

$$ a\cdot (b+c)=ab+ac$$

Vi kan också använda denna regel åt andra hållet, så om vi har ett uttryck som vi kan skriva som

$$ ab+ac$$

så kan vi skriva om detta uttryck som

$$ a\cdot (b+c)$$

Till exempel kan vi skriva om det här uttrycket med hjälp av denna regel:

$$8+2x=$$

$$={\color{Blue} 2}\cdot 4+{\color{Blue} 2}\cdot x=$$

$$={\color{Blue} 2}\cdot (4+x)$$

När vi räknar på det här sättet säger vi att vi "bryter ut" faktorn 2 ur uttrycket.

---

Förenkla uttrycket så långt det går

$$ 6(x+3)-18$$

Vi kan inte förenkla uttrycket som står innanför parentesen, så vi får multiplicera in faktorn 6 i parentesen och sedan förenkla ytterligare.

$$6\cdot (x+3)-18= $$

$$=6\cdot x+6\cdot 3-18=$$

$$=6x+18-18=$$

$$=6x$$

Nu kan vi inte förenkla detta uttryck ytterligare, så det ursprungliga uttrycket blev i förenklad form lika med 6x.

---

Förenkla uttrycket så långt det går

$$ 2\cdot (5-x)+4\cdot (x+5)$$

I den här uppgiften har vi två parenteser, men vi kan inte förenkla det som står inuti någon av dem. Därför får vi multiplicera in faktorerna 2 respektive 4 i parenteserna, och sedan förenkla uttrycket så långt det går.

$${\color{Red} 2}\cdot (5-x)+{\color{Blue} 4}\cdot (x+5)=$$

$$=({\color{Red} 2}\cdot 5-{\color{Red} 2}\cdot x)+({\color{Blue} 4}\cdot x+{\color{Blue} 4}\cdot 5)=$$

$$=(10-2x)+(4x+20)=$$

$$=10-2x+4x+20=$$

$$=2x+30$$

Vi kan nöja oss med detta förenklade uttryck som svar på uppgiften. Ibland kan vi dock vilja skriva det förenklade uttrycket i en annan form och då kan vi även bryta ut en faktor 2 ur det förenklade uttrycket, så att vi får det här:

$$2x+30=$$

$$=2\cdot x+2\cdot 15=$$

$$=2\cdot (x+15)$$

---

Videolektioner

Här går vi igenom multiplikation med parenteser.

I den här videon går vi igenom multiplikation med parenteser.

I den här videon går vi igenom division med parenteser.