Andelen, delen och det hela

I det här avsnittet ska vi därför repetera hur vi kan använda detta samband i olika situationer. Vi behöver kunna detta samband när vi i senare avsnitt kommer att undersöka ökningar och minskninga, och lära oss att använda förändringsfaktorer när vi räknar på flera ökningar eller minskningar efter varandra.

Andelen, delen och det hela

Om vi har sammanlagt 10 stycken kulor, och 4 av kulorna är röda, då kan vi beräkna hur stor andel (procent) av kulorna som är röda, så här:

$$ andel\,röda\,kulor=\frac{antal\,röda\,kulor}{antal\,kulor\,totalt}=\frac{4}{10}=0,4=40\,\%$$

När vi gör den här typen av beräkningar, då använder vi oss i själva verket av ett visst samband mellan andelen, delen och det hela, nämligen det här:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

I vårt exempel var antalet röda kulor delen (4 st.), det totala antalet kulor var det hela (10 st.) och andelen röda kulor var såklart andelen (40 %).

Det här sambandet mellan andelen, delen och det hela kan vi skriva om på två andra sätt, beroende på vad vi är intresserade av att beräkna.

Vill vi ta reda på hur stor del en viss andel av det hela är, då använder vi den här formeln:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Vill vi å andra sidan ta reda på hur mycket det hela är, när vi vet hur stor andel en viss del är, då använder vi den här formeln:

$$ det\,hela=\frac{delen}{andelen}$$

Vi ska nu räkna några exempel, där vi har användning för dessa formler.

Beräkna andelen

När vi vill beräkna hur stor andel av det hela som en viss del är, behöver vi veta hur stor delen och det hela är, enligt formeln

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

---

Idrottslektion

I en skolklass med 25 elever fick eleverna välja aktivitet under en idrottslektion. 5 elever valde att spela innebandy, 12 elever valde att spela volleyboll och 8 elever valde att spela basket.

Hur många procent av eleverna valde var och en av de olika aktiviteterna?

Lösningsförslag:

Eftersom vi vill veta hur många procent (hundradelar) av eleverna som valde de olika aktiviteterna, är det andelen som vi vill beräkna.

Vad som är delen är olika för de tre olika aktiviteterna, eftersom olika många elever valde dessa. Det hela är lika mycket i alla fallen, eftersom det var 25 elever i skolklassen.

Vi börjar med att beräkna andelen elever som spelade innebandy. Antalet elever som valde innebandy var 5 stycken, så detta är delen.  Andelen beräknar vi därför så här:

$$andelen\,(innebandy)=\frac{delen\,(innebandy)}{det\,hela}=$$

$$=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0,2=20\,\%$$

På motsvarande sätt kan vi beräkna andelen elever som spelade volleyboll, vilket 12 stycken elever gjorde:

$$andelen\,(volleyboll)=\frac{delen\,(volleyboll)}{det\,hela}=$$

$$=\frac{12}{25}=\frac{{\color{Blue} 4\,\cdot}\,12}{{\color{Blue} 4\,\cdot}\,25}=\frac{48}{100}=0,48=48\,\%$$

När vi slutligen vill beräkna andelen elever som spelade basket kan vi göra det enkelt för oss och använda vad vi redan har beräknat, eftersom andelen elever som höll på med någon av de tre aktiviteterna var 100 %.

$$andelen\,(basket)=100\,\%-andelen\,(innebandy)-andelen\,(volleyboll)= $$

$$=100\,\%-20\,\%-48\,\%=32\,\%$$

Alltså spelade 20 % innebandy, 48 % volleyboll och 32 % basket under idrottslektionen.

---

Beräkna delen

När vi vill beräkna hur stor delen är, behöver vi veta hur stor andel den är och hur mycket det hela är, enligt formeln

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

---

Hur mycket är 25 % av 320 kr?

I den här uppgiften känner vi till hur mycket det hela är, vilket är 320 kr. Vi vet också hur stor andelen är, vilket är 25 % (vilket vi i decimalform skriver som 0,25).

När vi vill beräkna hur mycket 25 % av 320 kr är, då är det delen vi är ute efter, så vi använder formeln

$$delen=andelen\cdot det\,hela=0,25\cdot 320\,kr=$$

$$=\frac{1}{4}\cdot 320\,kr=\frac{320\,kr}{4}=80\,kr$$

Alltså är 25 % av 320 kr lika med 80 kr.

---

Beräkna det hela

När vi vill beräkna hur mycket det hela är, behöver vi veta hur stor andel en viss del är, enligt formeln

$$ det\,hela=\frac{delen}{andelen}$$

---

Om du har 10 kulor i din hand och vet att dessa kulor utgör 40 % av alla de kulor du äger, hur många kulor äger du då totalt?

Vi vet att 40 % av alla dina kulor är lika med 10 stycken kulor. Därför är dessa kulors andel av det totala antalet kulor 40 % (0,4). Dessa 10 kulor utgör den del vi utgår ifrån, när vi vill beräkna hur många kulor du har totalt.

För att beräkna hur många kulor du har totalt (det hela), använder vi därför formeln

$$ det\,hela=\frac{delen}{andelen}=\frac{10}{0,4}=\frac{{\color{Blue} {10\,\cdot}}\, 10}{{\color{Blue} {10\,\cdot}}\, 0,4}=\frac{100}{4}=25$$

Alltså äger du totalt 25 stycken kulor.

Videolektioner

Här går vi igenom andelen, delen och det hela, samt hur vi beräknar ut delen.