Statistik

I det här avsnittet ska vi repetera hur vi använder en frekvenstabell, hur vi räknar med medelvärde och median, och hur vi tolkar diagram.

Frekvenstabeller

En skolklass med 10 elever har haft ett prov, som innehöll 6 stycken uppgifter.

Antalet uppgifter som de 10 eleverna svarade rätt på var:

$$ 5,\,3,\,5,\,3,\,2,\,4,\,6,\,2,\,2,\,4$$

För att få en bättre uppfattning om skolklassens resultat, kan vi använda oss av en frekvenstabell, vilket är en tabell där vi skriver in antalet rätta svar och hur många elever som hade just så många rätta svar (frekvensen).

Då kan vi få en tabell som ser ut så här:

Antal rätta svar	Frekvens
2	3
3	2
4	2
5	2
6	1

Till exempel kan vi läsa av i frekvenstabellen att 2 elever hade rätt på 4 stycken frågor.

Vi kan också vilja beräkna den relativa frekvensen. Den relativa frekvensen anger i vårt fall hur stor andel av eleverna som hade ett visst antal rätta svar.

Vi utökar vår frekvenstabell, så att den också innehåller den relativa frekvensen för vart och ett av antalet rätta svar:

Antal rätta svar	Frekvens	Relativ frekvens
2	3	\(\frac{3}{10}\) = 30 %
3	2	\(\frac{2}{10}\) = 20 %
4	2	\(\frac{2}{10}\) = 20 %
5	2	\(\frac{2}{10}\) = 20 %
6	1	\(\frac{1}{10}\) = 10 %

Medelvärde och median

När vi har en uppsättning värden vill vi ofta ha en sorts sammanfattning av ungefär hur stora dessa värden är. Då har vi användning för så kallade lägesmått. Vi ska nu repetera två mycket vanliga lägesmått: medelvärde och median.

Medelvärdet får vi genom att vi summerar alla våra värden och sedan dividerar med antalet värden. Vi använder därför den här formeln för att beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{summan\,av\,värdena}{antalet\,värden}$$

I vårt tidigare exempel med antalet rätta svar på ett prov i en skolklass, kan vi beräkna medelvärdet för antalet rätta svar, så här:

$$medelvärde=\frac{summan\,av\,värdena}{antalet\,värden}=$$

$$=\frac{3\cdot {\color{Magenta} 2}+2\cdot {\color{Magenta} 3}+2\cdot {\color{Magenta} 4}+2\cdot {\color{Magenta} 5}+1\cdot {\color{Magenta} 6}}{10}= $$

$$=\frac{6+6+8+10+6}{10}=$$

$$=\frac{36}{10}=3,6$$

Medelvärdet var alltså 3,6 rätta svar. Vi säger att eleverna i genomsnitt hade rätt på 3,6 uppgifter.

Medianen får vi genom att vi sorterar värdena i storleksordning och väljer ut det mittersta värdet. Om det är ett jämnt antal värden finns det inte ett enda värde som hamnar i mitten, så då beräknar vi medianen som medelvärdet av de två värden som ligger närmast mitten.

I exemplet med antalet rätta svar på ett prov i skolklassen, sorterar vi värdena så här:

$$ 2,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4,\,5,\,5,\,6$$

Eftersom det är ett jämnt antal värden, 10 stycken, beräknar vi medianen som medelvärdet av de två mittersta talen:

$$ 2,\,2,\,2,\,3,\,{\color{Red} 3},\,{\color{Red} 4},\,4,\,5,\,5,\,6$$

Medianen blir därför

$$ median=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5$$

Tolka diagram

Diagram används för att skapa en överblick över de värden man kommit fram till i en undersökning. Vi ska nu öva på att tolka diagram, vilket är bra att kunna eftersom information ofta presenteras i form av diagram.

---

Temperaturen mellan måndag och fredag

I det här linjediagrammet visas hur temperaturen har varierat under fem dagar, från måndag till fredag.

Tolka diagrammet och beräkna medelvärdet och medianen för temperaturen under de fem dagarna.

Lösningsförslag:

Vi läser av de fem dagarnas temperatur (i °C) i diagrammet: 10, 9, 12, 10, 14.

Därefter är det lätt att beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{10+9+12+10+14}{5}=\frac{55}{5}=11$$

Medelvärdet är alltså 11 °C.

För att beräkna medianen sorterar vi först värdena i storleksordning: 9, 10, 10, 12, 14.

Eftersom vi har ett udda antal värden, 5 stycken, blir medianen lika med det mittersta värdet, som är 10 °C.

Alltså är med medelvärdet 11 °C och medianen 10 °C.

---

Biobesök

I det här cirkeldiagrammet visas hur stor andel av eleverna i en skolklass som gått på biobesök ett visst antal gånger under det senaste året. I skolklassen går 20 stycken elever.

Tolka diagrammet och beräkna medelvärdet och medianen för antalet biobesök det senaste året.

Lösningsförslag:

I diagrammet kan vi läsa av hur många procent av eleverna som gått på bio olika antal gånger. Det är den relativa frekvensen som vi kan läsa av i diagrammet. Eftersom vi vet hur många elever det finns i klassen (20 stycken) kan vi räkna ut hur många elever som varje del av cirkeln motsvarar.

Till exempel kan vi läsa av att 25 % av de 20 eleverna inte har gått på bio någon gång under det senaste året, så antalet elever som det motsvarar är

$$ 25\,\%\cdot 20=0,25\cdot 20=5$$

På motsvarande sätt kan vi räkna ut hur många elever som gått på bio 0, 1, 2, 3, 4 respektive 5 gånger, vilket vi kan skriva ner i en frekvenstabell.

Antal biobesök	Relativ frekvens	Frekvens
0	25 %	5
1	15 %	3
2	20 %	4
3	10 %	2
4	25 %	5
5	5 %	1

När vi nu känner till frekvensen kan vi beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{5\cdot {\color{Magenta} 0}+3\cdot {\color{Magenta} 1}+4\cdot {\color{Magenta} 2}+2\cdot {\color{Magenta} 3}+5\cdot {\color{Magenta} 4}+1\cdot {\color{Magenta} 5}}{20}=$$

$$=\frac{0+3+8+6+20+5}{20}=$$

$$=\frac{42}{20}=2,1$$

Vad vi har beräknat här är att medelvärdet vad gäller antal biobesök det senaste året var 2,1 biobesök. Eleverna i klassen gick alltså på bio i genomsnitt 2,1 gånger under det senaste året.

Hur beräknar vi medianen?

Medianvärdet är det mittersta värdet som vi skulle hitta om vi sorterade alla våra värden i storleksordning. Eftersom det är 20 stycken värden (20 stycken elever) så är vi ute efter det 10:e och det 11:e värdet, som vi ska beräkna medelvärdet av för att få medianen.

Vi kan hitta detta värde med hjälp av frekvenstabellen. Är värdena sorterade i storleksordning, då finns de 9:e, 10:e, 11:e och 12:e värdena på den tredje raden i frekvenstabellen, den rad som visar hur många elever som gått på bio 2 gånger.

Medianen är därför lika med 2 biobesök under det senaste året.

Om vi hade ställt upp alla de 20 värdena sorterade i storleksordning hade vi fått precis samma median.

Videolektioner

Här går vi igenom frekvens och relativ frekvens.

Här går vi igenom medelvärde.

Här går vi igenom medelvärde och frekvenstabell.

Här går vi igenom median.

Här går vi igenom typvärde.

Här går vi igenom lägesmått och frekvenstabell.