Förändringsfaktor
Tidigare har vi repeterat sambandet mellan andelen, delen och det hela. Vi har också märkt att vi kan använda detta samband när vi ska räkna på hur mycket något har förändrats, till exempel när priset på en vara höjs eller sänks.
I det här avsnittet ska vi lära oss hur vi kan räkna med flera förändringar som sker efter varandra, genom att använda oss av förändringsfaktorer.
Förändringsfaktor
När vi tidigare har räknat fram till exempel en varas nya pris efter en prisförändring i procent, har vi först räknat ut hur stor förändringen är i kronor räknat och sedan beräknat det nya priset.
Till exempel räknade vi i det förra avsnittet ut att en t-shirt som från början kostade 120 kr, kostar 84 kr efter att priset sänkts med 30 %. Prissänkningen i kronor räknat var då 36 kr.
Om vi bara var intresserade av det nya priset efter prissänkningen, då finns det ett enklare sätt att räkna, som direkt ger oss vårt önskade svar.
Att priset sänks med 30 % är samma sak som att det nya priset efter prissänkningen är 70 % av priset före prissänkningen. Det innebär att vi kan se priset efter prissänkningen som andelen 70 % av 120 kr (det hela) är.
Därför kan vi direkt beräkna det nya priset så här:
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$
$$=70\,\%\cdot 120\,kr=$$
$$={\color{Blue} {0,7}}\cdot 120\,kr= $$
$$={\color{Blue} {7\cdot 0,1}}\cdot 120\,kr=$$
$$=7\cdot 12\,kr=84\,kr$$
Vad vi gjorde här var alltså att vi multiplicerade det gamla värdet (120 kr) med en faktor 0,7 och då fick det nya värdet (84 kr).
Den faktor 0,7 som vi multiplicerade med kallar vi förändringsfaktor, eftersom det är den som bestämmer hur stor förändringen blir från det gamla värdet till det nya värdet.
Om vi tänker oss att priset på t-shirten istället hade höjts med 30 % från priset 120 kr, då hade ju det nya priset blivit 130 % av det gamla priset. Därför hade förändringsfaktorn istället varit 1,3 och vi hade kunnat beräkna det nya, högre, priset så här:
$$det\,nya\,priset=förändringsfaktorn\cdot det\,gamla\,priset=$$
$$=1,3\cdot 120\,kr=156\,kr$$
Det nya priset skulle alltså bli 156 kr efter att priset höjts med 30 % från 120 kr.
Som vi ser kan vi räkna med förändringsfaktor både i situationer där något minskar och i situationer där något ökar.
Räkna med förändringsfaktor
En stor fördel med att räkna med förändringsfaktorer är att det blir enklare ifall det sker flera förändringar efter varandra.
Vi ska nu undersöka hur vi har nytta av förändringsfaktorer i en sådan situation.
Två prissänkningar
Det visade sig svårt för klädbutiken att sälja en viss t-shirt, som först hade priset 120 kr. Klädbutiken sänkte därför först priset med 30 %, och sedan med ytterligare 50 % av det redan nedsatta priset.
Vilket pris hade t-shirten efter de två prissänkningarna?
Lösningsförslag:
Efter den första prissänkningen kostade t-shirten 70 % av det ursprungliga priset.
Sedan sänktes priset ytterligare en gång, så att priset blev 50 % av det redan nedsatta priset.
Därför var den första förändringsfaktor 0,7 och den andra förändringsfaktorn 0,5.
Vi kan därför skriva ett uttryck för det slutliga priset på t-shirten så här:
$$ 0,5\cdot 0,7\cdot 120\,kr$$
Vi beräknar värdet av uttrycket:
$$ 0,5\cdot 0,7\cdot 120\,kr=0,5\cdot 84\,kr=42\,kr$$
Om vi tittar noga på den uträkning vi just gjort, kan vi se att priset på t-shirten blev 84 kr efter prissänkningen med 30 %. Sedan sänktes priset igen, med 50 %, och då blev det slutliga priset på t-shirten 42 kr.
Löneökningar
År 2011 hade Gustav timlönen 100 kr/timme. Därefter höjdes hans lön med 3 % under år 2012 och sedan ännu en gång med 3 % år 2013.
Vilken timlön hade Gustav år 2013, efter den andra löneförhöjningen?
Lösningsförslag
Från början hade Gustav timlönen 100 kr/timme.
Sedan höjdes lönen med 3 %. Det motsvarar en förändringsfaktor på 1,03, eftersom hans nya lön då blev 103 % av den ursprungliga lönen.
Därefter höjdes lönen med ytterligare 3 %, så även den förändringsfaktorn blir 1,03.
Vi börjar med att beräkna Gustavs timlön efter den första löneförhöjningen:
$$ 1,03\cdot 100\,kr=103\,kr$$
Efter den andra löneförhöjningen får Gustav därför den här timlönen:
$$ 1,03\cdot 103\,kr=106,09\,kr$$
Vi kan också räkna ut den här slutliga timlönen genom att skriva ett uttryck där vi har slagit ihop dessa beräkningar:
$$ 1,03\cdot 1,03\cdot 100\,kr=106,09\,kr$$
Produkten blir densamma och visar alltså att Gustavs slutliga timlön blir 106,09 kr/timme.
Videolektioner
Här går vi igenom förändringsfaktor.
Här fortsätter vi gå igenom förändringsfaktorer och hur vi räknar på det.
Här går vi igenom förändringsfaktor genom att gå igenom två stycken exempel.
Här går vi igenom hur man kan räkna med förändringsfaktor.