Multiplikation och division med negativa tal

I det här avsnittet ska vi fortsätta att studera de negativa talen och lära oss de räkneregler som gäller då vi multiplicerar eller dividerar negativa tal.

Multiplikation med negativa tal

Vi kan se på multiplikation som upprepad addition. Till exempel kan vi skriva följande produkt som en summa av termer:

$$ 3\cdot2=2+2+2=6 $$

Att multiplicera 3 med 2 är alltså samma sak som att addera 3 stycken termer med värdet 2.

På motsvarande sätt kan vi skriva om en produkt som består av en positiv och en negativ faktor, som en summa av negativa termer:

$$ 3\cdot(-2)= $$

$$ =(-2)+(-2)+(-2)= $$

$$ =-2-2-2= -6$$

Produkten av det positiva talet 3 och det negativa talet -2 blev alltså -6. Det är detsamma som produkten av 3 och 2, med skillnaden att produkten blev negativ (-6 istället för 6).

På det sättet blir det alltid då vi multiplicerar ett positivt tal med ett negativt tal. Det spelar ingen roll vilket av talen som är det positiva och vilket som är det negativa, så länge det ena är positivt och det andra är negativt:

$$ 3\cdot(-2)=(-3)\cdot2=-6$$

Den här räkneregeln för multiplikation med negativa tal säger oss att om vi har två positiva tal a och b (till exempel a = 3 och b = 2), då finns de här allmänna sambanden:

$$ a\cdot(-b)=-ab $$

$$ (-a)\cdot b=-ab$$

Hur blir det om båda faktorerna som ska multipliceras är negativa?

$$ (-3)\cdot (-2)=3\cdot 2=6$$

När vi multiplicerar två negativa faktorer blir produkten positiv. Vi säger då att minustecknen tar ut varandra.

Räkneregeln säger oss att om vi har två positiva tal a och b (till exempel a = 3 och b = 2), då finns det här allmänna sambandet när vi multiplicerar:

$$ (-a)\cdot (-b)=(-b)\cdot (-a)=ab$$

Alltså gäller att om vi multiplicerar två negativa tal med varandra, så blir produkten positiv. Det spelar ingen roll i vilken ordning de båda faktorerna står - produkten blir ändå densamma.

---

Beräkna

$$ 4\cdot(-2)$$

Lösningsförslag:

Vi använder räkneregeln för multiplikation av en positiv faktor och en negativ faktor, där vi i det här fallet har a = 4 och b = 2:

$$ a\cdot(-b)=-ab $$

$$ 4\cdot(-2)=-8$$

---

Beräkna

$$ (-4)\cdot(-1)\cdot(-2)$$

Lösningsförslag:

I det här fallet använder vi räkneregeln för multiplikation av negativa faktorer:

$$ (-a)\cdot (-b)=ab$$

Först beräknar vi produkten av de två första faktorerna (-4) och (-1), och sedan multiplicerar vi den produkten vi får med den sista faktorn i uttrycket, (-2).

Då får vi det här:

$$ (-4)\cdot (-1)\cdot (-2)=$$

$$=4\cdot(-2)= $$

$$=-8$$

---

Division med negativa tal

När vi ska dividera med negatival tal gäller räkneregler som liknar dem för multiplikation med negativa tal.

Om vi har en kvot där det ena talet är positivt och det andra talet är negativt, då kommer kvoten att bli negativ.

Till exempel gäller det här, när täljaren är negativ och nämnaren är positiv:

$$ \frac{-6}{3}=-2$$

Det spelar ingen roll vilken av täljaren eller nämnaren som är positiv respektive negativ, så länge en av dem är positiv och den andra är negativ. Därför får vi samma kvot som i exemplet ovan, när istället täljaren är positiv och nämnaren är negativ, så här:

$$ \frac{6}{-3}=-2$$

Om vi däremot har en kvot där talen i täljaren och i nämnaren är negativa, då kommer kvoten att bli positiv.

Det kan vi se i det här exemplet:

$$ \frac{-6}{-3}=2$$

Vi kan sammanfatta detta som att när vi dividerar två tal som har olika tecken, då blir kvoten negativ. Men när vi dividerar två tal som har lika tecken, då blir kvoten positiv.

Om vi har två positiva tal a och b kan vi skriva de här sambanden så här:

$$ \frac{-a}{b}=-\frac{a}{b} $$

$$ \frac{a}{-b}=-\frac{a}{b} $$

$$ \frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$$

Videolektioner

Här går vi igenom multiplikation med negativa tal.

Här går vi igenom division med negativa tal.

Här går vi igenom multiplikation med negativa tal.

Här går vi igenom division med negativa tal