Klot och sfärer
I årskurs 8 lärde vi oss om cirklar, och hur vi beräknar cirklars omkrets och area. En cirkel har en medelpunkt och alla punkter längs cirkelns periferi ligger på radiens avstånd från medelpunkten.
I det här avsnittet ska vi undersöka klot och sfärer, och hur vi beräknar klots volym.
Klot och sfärer
Ett klot är en geometrisk figur som begränsas av den yta som ligger på radiens avstånd från klotets centrum. Själva ytan som en klotformad figur har kallas en sfär.
Du har redan träffat på klot i många olika situationer. Till exempel brukar bollar vara klotformade och även den planet som vi bor på, Jorden, är ungefär klotformad. Du har antagligen också träffat på bowlingklot, som ju har fått sitt namn från den geometriska formen klot.
Så här kan ett klot se ut:
Ett klot har alltid en viss radie r, som är avståndet från klotets centrum ut till klotets yta, som vi kallar sfären. Man kan tänka sig en sfär som en cirkel i tre dimensioner.
En storcirkel är en cirkel som går längs klotets yta på ett sådant sätt att denna cirkels omkrets blir så stor som möjligt. Om vi tittar på planeten Jorden, som ungefär har formen av ett klot, så är ekvatorn Jordens storcirkel.
Volymen av ett klot
När vi ska beräkna volymen av ett klot, använder vi den här formeln, där r är klotets radie:
$$ {V}_{klot}=\frac{4\cdot \pi\cdot {r}^{3}}{3}$$
Hur stor volym har fotbollen?
Fotbollen har radien 11 cm. Svara i enheten liter.
Lösningsförslag:
Eftersom en fotboll har formen av ett klot och vi känner till klotets radie, 11 cm, kan vi använda formeln för ett klots volym för att beräkna fotbollens volym:
$$ V=\frac{4\cdot \pi\cdot {11}^{3}}{3}\approx 5\,600\,{cm}^{3}$$
Detta är alltså fotbollens volym, men hur mycket är 5 600 cm3 i enheten liter?
Från avsnittet om volymenheter vet vi att 1 000 cm3 är lika med 1 dm3. Vi vet också att 1 dm3 är lika med 1 liter.
Därför kan vi skriva om fotbollens ungefärliga volym så här:
$$ V\approx 5\,600\,{cm}^{3}=5,6\cdot1\,000\,{cm}^{3}=5,6\cdot 1\,{dm}^{3}=5,6\,l$$
En fotboll med radien 11 cm (vilket är en vanlig radie för fotbollar) har en volym på ungefär 5,6 liter.
Hur stor volym rymmer skålen?
Denna skål har formen av ett halvt klot, som har inre diametern 36 cm. Du tänker fylla denna skål med vatten ända upp till kanten.
Du vill hälla upp 10 liter vatten i skålen, kommer skålen att rymma så mycket vatten?
Lösningsförslag:
Skålen har formen av ett halvt klot med den inre diametern 36 cm. Det innebär att skålen rymmer en volym som är lika med hälften av ett klot med radien 18 cm.
Vi kan beräkna den volym som skålen rymmer så här:
$$ {V}_{sk\overset{\circ}{a}l}=\frac{{V}_{klot}}{2}=\frac{\frac{4\cdot\pi\cdot {18}^{3}}{3}}{2}=$$
$$=\frac{4\cdot\pi\cdot {18}^{3}}{6}=$$
$$=3888\pi\,{cm}^{3}\approx 12\,000\,{cm}^{3}$$
Skålen rymmer alltså en volym på ungefär 12 000 cm3. Eftersom 1 000 cm3 är lika med 1 dm3, kan vi skriva volymen så här:
$$ {V}_{sk\overset{\circ}{a}l}\approx 12\,000\,{cm}^{3}=12\,{dm}^{3}=12\,l$$
Rymmer skålen 10 liter vatten? Ja, eftersom skålen har en volym på ungefär 12 liter bör den rymma 10 liter vatten.
Videolektion
Här går vi igenom volym för en klot.
Här går vi igenom klot. Vi går också igenom två formler som är bra att kunna när man ska beräkna saker på klotet.