Likformighet

I det här avsnittet ska vi lära oss om likformighet, vilket är ett sätt att ange att två geometriska figurer har samma form, men inte nödvändigtvis samma storlek.

Likformighet

Som vi lärde oss i avsnittet om skala, kan vi ange att en avbildning av en sträcka är dubbelt så lång som den ursprungliga sträckan, genom att skriva skalan 2:1. Har vi en tvådimensionell figur istället för en sträcka som vi vill avbilda med skalan 2:1, betyder det att alla sträckor i figuren blir dubbelt så långa. Själva figuren blir fyra gånger så stor.

Till exempel kan vi rita två trianglar, där den ena är den ursprungliga triangeln ∆ABC och den andra är en avbildning ∆DEF av den första triangeln i skala 2:1. Då kan trianglarna se ut så här:

Vi kan se att varje sida i triangeln ∆ABC har en motsvarande sida i triangeln ∆DEF, som är dubbelt så lång. Vi kan också se att varje vinkel i triangeln ∆ABC har en motsvarande vinkel i triangeln ∆DEF, som är precis lika stor. Triangeln ∆DEF är fyra gånger så stor som triangeln ∆ABC.

De båda trianglarna har därför samma form, men olika storlek. När två trianglar (eller någon annan typ av månghörning) har samma form, men inte nödvändigtvis samma storlek, då säger vi att de båda figurerna är likformiga.

Att två månghörningar är likformiga innebär att förhållandet mellan motsvarande sidor i de båda månghörningarna är detsamma. Med förhållandet mellan motsvarande sidor menar vi kvoten mellan motsvarande sidors längd. För våra likformiga trianglar ∆ABC och ∆DEF i bilden ovan gäller därför det här:

$$\frac{DE}{AB}=\frac{10}{5}=2 $$

$$\frac{EF}{BC}=\frac{8}{4}=2$$

$$\frac{DF}{AC}=\frac{6}{3}=2 $$

$$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=2$$

Förhållandet mellan motsvarande sidor i trianglarna är alltså 2. Det beror på att de båda trianglarna är likformiga och att triangeln ∆DEF är en förstoring som är fyra gånger så stor som triangeln ∆ABC.

Om förhållandet mellan motsvarande sidor hade visat sig vara olika, då skulle trianglarna inte ha varit likformiga.

Räkna med likformiga figurer

När vi vet att två geometriska figurer är likformiga innebär det alltså att förhållandet mellan motsvarande sidor är likadant.

Det här innebär att om vi vet att två figurer är likformiga och vill ta reda på hur lång en viss sida är, då kan vi teckna en ekvation och genom att lösa ekvationen kan vi ta reda på sidans längd. Vi ska titta på ett exempel där vi använder just det här lösningssättet.

---

Bestäm längden på den okända sidan

De båda trianglarna ∆ABC och ∆DEF nedan är likformiga. Bestäm längden på sidan BC, som är markerad med x.

Lösningsförslag:

Eftersom de båda trianglarna ∆ABC och ∆DEF är likformiga, vet vi att förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma. Det innebär att det här sambandet gäller:

$$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$$

$$\frac{10}{20}=\frac{x}{24}$$

Nu har vi alltså med hjälp av förhållandet mellan motsvarande sidor i trianglarna kunnat teckna en ekvation. Denna ekvation kan vi lösa, för att ta reda på längden på sidan BC, som vi betecknat med x.

Vi löser ekvationen:

$$\frac{10}{20}=\frac{x}{24} $$

$${\color{Blue}{24}\,\cdot\,}\frac{10}{20}={\color{Blue}{24}\,\cdot\,}\frac{x}{24} $$

$$\frac{24}{2}=x $$

$$x=12$$

Nu har vi alltså kommit fram till att längden på sidan BC är lika med 12 längdenheter. Det kunde vi komma fram till tack vare att vi visste att de båda trianglarna var likformiga.

---

Är trianglarna likformiga?

Vi har två trianglar ∆ABC och ∆DEF enligt bilden nedan. Undersök om de båda trianglarna är likformiga.

Lösningsförslag:

För att de båda trianglarna ∆ABC och ∆DEF ska vara likformiga, måste förhållandet mellan motsvarande sidor vara likadant. Det är någonting som vi kan undersöka utifrån de kända sidornas längder.

Är trianglarna ∆ABC och ∆DEF likformiga ska alltså det här sambandet gälla:

$$ \frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$

Eftersom vi känner till alla dessa sidors längder, beräkna vi förhållandena:

$$\frac{DF}{AC}=\frac{5,0}{3,6}\approx 1,39 $$

$$\frac{EF}{BC}=\frac{2,6}{1,8}\approx 1,44$$

Eftersom förhållandet mellan de motsvarande sidorna blev olika, kan vi dra slutsatsen att trianglarna ∆ABC och ∆DEF inte kan vara likformiga.

Hade vi bara tittat på figurerna hade vi kunnat tro att de båda trianglarna var likformiga, men när vi undersökte förhållandet mellan motsvarande sidor märkte vi att trianglarna inte kunde vara likformiga.

Videolektioner

Här går vi igenom likformighet i fyrhörningar och metoden korsmultiplikation.

Här går vi igenom likformighet i trianglar och metoden korsmultiplikation.

Här går vi igenom och förklarar vad likformighet är.

Här går vi igenom likformighet när det gäller trianglar.