Uttryck med potenser

I det här avsnittet ska vi se att vi kan ha nytta av potenser även när vi ska multiplicera variabler i uttryck.

Potenser - en kort repetition

En potens är ett sätt att skriva en upprepad multiplikation. Till exempel kan vi istället för att skriva

$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$

använda oss av potensen

$${2}^{5}$$

I den här potensen är 2:an potensens bas och 5:an är potensens exponent. Basen säger oss vilket tal vi multiplicerar med sig självt, och exponenten säger oss hur många gånger vi ska multiplicera. I vårt exempel är det alltså 5 gånger som vi multiplicerar faktorn 2.

Vi kan även stöta på potenser där basen är en variabel, till exempel x. På motsvarande sätt som då basen är 2 kan vi därför skriva

$$x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x={x}^{5}$$

Uttryck med potenser

Vi ska nu öva på att teckna och förenkla uttryck som innehåller potenser.

---

Förenkla uttrycken

$$a)\,\,x(3x+2)$$

$$b)\,\,3y(4+5y)$$

Lösningsförslag:

a)

Vi använder räkneregeln för multiplikation med parenteser och förenklar sedan uttrycket.

$$x(3x+2)=$$

$$=x\cdot 3x+x\cdot 2=$$

$$=3{x}^{2}+2x$$

Det uttryck vi fick är alltså ett annat sätt att skriva

$$3\cdot x\cdot x+2\cdot x$$

men vanligtvis använder vi potenser när vi har uttryck som innehåller den här typen av upprepad multiplikation.

b)

Även i det här fallet använder vi räkneregeln för att multiplicera in faktorn som står framför parentesen. Sedan förenklar vi uttrycket.

$$3y(4+5y)=$$

$$=3y\cdot 4+3y\cdot 5y=$$

$$=12y+15{y}^{2}=$$

$$=15{y}^{2}+12y$$

I det sista steget skrev vi om uttrycket, så att potenstermen med exponenten 2 står först, för vanligtvis skriver vi de potenstermer med högst exponent först.

---

Förenkla uttrycket

$$(z+2)\cdot 4z+4z\cdot (2-z)$$

Det här uttrycket innehåller två parenteser. Eftersom vi inte kan förenkla uttrycken som står inom parenteserna, börjar vi med att multiplicera in 4z i respektive parentes. Sedan förenklar vi uttrycket som vanligt.

Vi kommer ihåg att det inte spelar någon roll i vilken ordning faktorerna står när vi ska multiplicera, så den första termen i uttryck kan vi skriva så här:

$$(z+2)\cdot 4z=4z\cdot (z+2)$$

Vi förenklar nu det ursprungliga uttrycket så långt som möjligt:

$$4z\cdot (z+2)+4z\cdot (2-z)=$$

$$=4z\cdot z+4z\cdot 2+4z\cdot 2-4z\cdot z=$$

$$=4{z}^{2}+8z+8z-4{z}^{2}=$$

$$=16z$$

Det ursprungliga uttrycket visade sig alltså vara lika med 16z.

---

Teckna ett uttryck för rektangelns area

Basen i denna rektangel är 2x + 5 längdenheter och höjden är x längdenheter.

Teckna ett uttryck för rektangelns area. Beräkna sedan hur stor rektangelns area är om x = 10 meter.

Lösningsförslag:

Vi vet sedan tidigare att en rektangels area kan beräknas med formeln

$$A=basen\cdot höjden$$

Vi använder denna formel och förenklar det uttryck vi får:

$$A=basen\cdot höjden=$$

$$=(2x+5)\cdot x=$$

$$=2{x}^{2}+5x$$

Rektangelns area är alltså 2x² + 5x areaenheter. Hur stor arean är beror alltså på vilket värde variabeln x har.

Om x = 10 meter får vi därför arean 250 m² eftersom

$$A=2{x}^{2}+5x=$$

$$=2\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=$$

$$=2\cdot 100+50=$$

$$=200+50=$$

$$=250\,{m}^{2}$$

---

Videolektioner

Här går vi igenom uttryck med potenser.