Koordinatsystem och grafer

I det här avsnittet ska vi undersöka hur vi kan använda oss av koordinatsystem och grafer för att visa hur funktionsvärden varierar. Att använda oss av koordinatsystem och grafer kan göra det lättare för oss att förstå hur en viss funktion fungerar.

Koordinatsystem

Vi har tidigare använt oss av tallinjer för att visa hur olika tal förhåller sig till varandra.

Ett koordinatsystem består av två tallinjer: en vågrät tallinje och en lodrät tallinje. De båda tallinjerna korsar varandra i en punkt som vi kallar origo, vilket är den punkt där de båda tallinjerna har värdet 0. Tallinjerna som ingår i ett koordinatsystem brukar kallas koordinataxlar.

Så här kan ett koordinatsystem se ut:

I ett koordinatsystem brukar den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln.

När vi har ett koordinatsystem kan vi markera punkter i koordinatsystemet. I ett vanligt koordinatsystem skriver vi punkter med hjälp av ett talpar, där vi kallar det första talet x-koordinaten och det andra talet y-koordinaten.

Vill vi till exempel ange den punkt där x-värdet är lika med 2 och y-värdet är lika med 3, då skriver vi den punkten så här: (2, 3). Det första värdet inom parentesen, 2, är alltså x-värdet, och det andra värdet inom parentesen, 3, är y-värdet.

Vi kan markera punkten (2, 3) i koordinatsystemet så här:

I koordinatsystemet ser vi att det första värdet i talparet (2, 3) är samma värde (2) som den vågräta axeln har vid punkten. Vi ser också att det andra värdet i talparet är samma värde (3) som den lodräta axeln har vid punkten. Alltså kan vi pricka in exakt var punkten ligger i koordinatsystemet med hjälp av talparet (x, y).

Punkten som vi kallar origo skriver vi (0, 0), för i den punkten är både x-värdet och y-värdet lika med 0.

---

Markera punkterna (1, 4), (-2, 1), (-3, -1), och (2, -2) i ett koordinatsystem

Vi börjar med den första punkten, som skrivs med talparet (1, 4). Det första värdet i talparet är värdet längs x-axeln (den vågräta axeln) och det andra värdet är värdet längs y-axeln (den lodräta axeln).

Därför markerar vi den position längs x-axeln som har värdet 1 och den position längs y-axeln som har värdet 4. Med hjälp av dessa markeringar kan vi pricka in exakt var punkten är i koordinatsystemet:

På samma sätt kan vi också markera punkterna (-2, 1), (-3, -1) och (2, -2) i koordinatsystemet. För var och en av dessa punkter markerar vi värdena i talparet längs koordinataxlarna och hittar punkten.

---

Interaktiv koordinatsystem:

Träna på olika punkter/koordinater genom att klicka på flyttnings knapp för att flytta den blå punkten och sedan klickar du på "Visa punktvärdet" knapp för att visa värdet.

---

Grafer

Vi kan använda oss av koordinatsystem för att visa hur en funktions värden beror på värdet av en variabel. Då låter vi funktionsvärdet anges längs y-axeln och variabeln som funktionsvärdet beror på längs x-axeln.

I avsnittet om funktioner hade vi ett exempel med Anna som arbetade extra och fick betalt per timme hon arbetat. Hennes totala lön beror på hur många timmar hon arbetat, enligt den här funktionen:

$$ y(x)=80x$$

y är Annas totala lön i kronor och x är hur många timmar hon har arbetat.

Vi kan skissa en graf som visar det här sambandet i ett koordinatsystem. Då kan grafen se ut så här:

När vi skissar en graf i ett koordinatsystem så får vi oftast en kurva eller linje istället för bara några punkter. I själva verket kommer alla de punkter som vi kan få då vi väljer olika värden på variabeln x och beräknar funktionsvärdet y, att ligga längs den här linjen i koordinatsystemet.

Vi kan läsa av Annas totala lön längs den här linjen. Har Anna till exempel arbetat 1 timme, då kan vi läsa av hennes totala lön i punkten (1, 80), vilket är den punkt vi hamnar i om vi läser av 1 längs den vågräta axeln och undersöker hur långt upp linjen ligger vid just detta x-värde. Kurvan ligger då strax under y-värdet 100, vid y = 80. Det tolkar vi som att Anna tjänat 80 kr (y-värdet) efter att hon arbetat 1 timme (x-värdet).

Eftersom Annas totala lön måste vara minst 0 kr och hon kan ha arbetat som minst 0 timmar, behöver vi bara rita ut de värden längs koordinataxlarna som är minst 0.

Annas totala lön är i själva verket en proportionalitet. Med proportionalitet menar vi en funktion vars graf är en rät linje som går igenom punkten origo.

När vi har en känd funktion, till exempel

$$ y(x)=80x $$

kan vi alltså använda grafer till att läsa av funktionsvärden för olika värden på variabeln. Ofta kan det vara enklare att förstå hur en funktion fungerar om vi kan titta på den i ett koordinatsystem med hjälp av grafen.

Ibland kan vi även känna till vissa punkter och vill ta reda på en funktion som stämmer för de punkterna.

---

En kanonkula skjuts ut ur en kanon

Hur högt över marken som kanonkulan befinner sig betecknar vi med y (i meter) och hur lång tid som gått sedan kanonen avfyrades betecknar vi med t (i sekunder).

Kanonkulans höjd över marken kan beskrivas med den här funktionen:

$$ y(t)=-0,7{t}^{2}+5t+1$$

Om vi skissar den här funktionens graf i ett koordinatsystem, då kommer den att se ut så här:

Använd grafen till att läsa av ungefär hur högt över marken som kanonkulan befinner sig efter

a) 1 sekund.

b) 4 sekunder.

Lösningsförslag:

a)

När vi ska läsa av kanonkulans höjd efter 1 sekund, tittar vi först på den vågräta axeln, som anger tiden (i sekunder) efter det att kanonen avfyrats. Vi letar reda på värdet t = 1.

Sedan tänker vi oss en linje rakt upp från den vågräta axeln vid värdet t = 1 upp till kurvan. Den här linjen skär kurvan i en viss punkt och där kan vi läsa av hur högt över marken kanonkulan befinner sig vid tiden 1 sekund.

Vi kan läsa av att vid tiden 1 sekund befinner sig kanonkulan ungefär på höjden 5,3 meter över marken.

b)

Vi gör likadant för tiden 4 sekunder, som vi gjorde för tiden 1 sekund.

I koordinatsystemet kan vi se att kanonkulan vid tiden 4 sekunder befinner sig högre upp i luften än efter 1 sekund. Vi läser av kanonkulans höjd och ser att den befinner sig ungefär på höjden 9,8 meter över marken.

På detta sätt kan vi även läsa av kanonkulans höjd över marken vid andra tidpunkter. Kan du till exempel se när kanonkulan kommer att träffa marken, det vill säga när höjden över marken är 0 meter?

Videolektioner

Här går vi igenom koordinatsystem, vad det är och hur vi använder det.

Här går vi igenom linjära funktioner och den räta linjen.

Här går vi igenom positiv och negativ lutning på en linje i ett koordinatsystem.

Här går vi igenom koordinatsystem och vad man ska tänka på när man ritar upp ett koordinatsystem.

Här går vi igenom den räta linjens ekvation.

Här fortsätter vi gå igenom den räta linjens ekvation och hur man kan skissa grafer utifrån ekvationen.

Här går vi igenom proportionalitetskonstant.