Ekvationslösning

I tidigare avsnitt i årskurs 9 har vi även lärt oss hur vi förenklar uttryck som innehåller parenteser.

Nu ska vi öva på att lösa ekvationer där båda leden innehåller variabler och ekvationer där nämnaren i en kvot innehåller variabler.

Ekvationslösning med balansering

Att lösa en ekvation innebär att vi hittar värden på de variabler som finns i ekvationen, på ett sådant sätt att ekvationens båda sidor blir lika med varandra.

I det här avsnittet ska vi lösa ett antal ekvationer, men vi ska börja med att repetera hur vi gör när vi löser ekvationer med hjälp av metoden balansering.

Balansering innebär att när vi till exempel adderar, subtraherar, multiplicerar eller dividerar den ena sidan av en ekvation, då måste vi också göra precis samma sak på den andra sidan för att likheten mellan de båda sidorna ska fortsätta att gälla.

Låt oss säga att vi har den här ekvationen:

$$ 2x+4=6$$

Om vi till ekvationen till exempel adderar 2 till den ena sidan, då måste vi också addera 2 till den andra sidan:

$$2x+4=6$$

$$2x+4\,{\color{Blue}{ +\,2}}=6\,{\color{Blue} {+\,2}} $$

$$2x+6=8$$

Detsamma gäller om vi hade subtraherat 2 från den ena sidan, vilket vi då också hade behövt göra på den andra sidan:

$$2x+4=6 $$

$$2x+4\,{\color{Blue} {-\,2}}=6\,{\color{Blue}{ -\,2}}$$

$$2x+2=4$$

Även om vi multiplicerar den ena sidan med 2, gäller då att vi måste multiplicera den andra sidan med 2. Här är det viktigt att vi multiplicerar hela uttrycket på respektive sida med 2:

$$2x+4=6 $$

$${\color{Blue} {2\,\cdot\,}}(2x+4)={\color{Blue} {2\,\cdot\,}} 6$$

$${\color{Blue} {2\,\cdot\,}} 2x+{\color{Blue} {2\,\cdot\,}} 4={\color{Blue} {2\,\cdot\,}} 6 $$

$$4x+8=12$$

Slutligen gäller att om vi dividerar den ena sidan med 2, så måste vi också dividera den andra sidan med 2. Även här är det viktigt att komma ihåg att det är hela uttrycket på respektive sida som vi ska dividera med 2:

$$2x+4=6 $$

$$\frac{2x+4}{{\color{Blue}{ 2}}}=\frac{6}{{\color{Blue} 2}} $$

$$x+2=3$$

Ekvationer med parenteser och variabler i båda leden

Vi ska nu lösa ett antal ekvationer med hjälp av balansering. Vad vi framför allt ska öva på är att lösa ekvationer som innehåller parenteser och ekvationer som har variabler i båda leden.

---

Lös ekvationen

$$ 3x+4=x-2$$

Den här ekvationens båda led innehåller variabeln x. För att lösa ekvationen ska vi först se till att vi har variabeln i bara det ena ledet.

I det vänstra ledet har vi tre x-termer och i det högra ledet bara en x-term. Om vi subtraherar x från båda leden, då kommer vi att bli av med x-termen i det högra ledet:

$$3x+4=x-2$$

$$3x+4{\color{Red} {\,-\,x}}=x-2{\color{Red}{ \,-\,x}}$$

$$2x+4=-2$$

Nu har vi inte längre någon variabelterm i det högra ledet. Men vi vill att variabeln x ska stå helt ensam i det vänstra ledet, utan någon konstantterm 4.

Vi kan bli av med 4:an i det vänstra ledet genom att vi subtraherar 4 från båda leden:

$$2x+4=-2$$

$$2x+4{\color{Red} {\,-\,4}}=-2{\color{Red}{ \,-\,4}}$$

$$2x=-6$$

Nu är vi nästan klara med att lösa ekvationen. Men vi vill att det bara ska stå en enda x-term i det vänstra ledet, inte 2 stycken.

Därför dividerar vi de båda leden med 2:

$$2x=-6$$

$$\frac{2x}{{\color{Red} 2}}=\frac{-6}{{\color{Red} 2}}$$

$$x=-3$$

Nu har vi löst ekvationen: vi har hittat ett värde på variabeln x (det vill säga x = -3) som gör att ekvationens båda led blir lika.

Om du vill så kan du testa den här lösningen genom att sätta in -3 istället för x i den ursprungliga ekvationen. Stämmer lösningen?

---

Lös ekvationen

$$ 4(3+2x)=7-2(3x+1)$$

I den här ekvationen har vi inte bara variabler i båda leden. Vi har även parenteser som vi behöver räkna med.

När vi ska lösa den här ekvationen är det bra att börja med att förenkla de båda leden var för sig.

Därför multiplicerar vi in 4 i parentesen i det vänstra ledet, och multiplicerar in 2 i parentesen i det högra ledet. I det högra ledet får vi behålla parentesen, eftersom vi har ett minustecken framför 2:an. Sedan förenklar vi leden var för sig så långt vi kan.

$$ {\color{Blue} 4}(3+2x)=7-{\color{Red} 2}(3x+1)$$

$${\color{Blue}{ 4\,\cdot\,}} 3+{\color{Blue} {4\,\cdot\,}} 2x=7-({\color{Red}{ 2\,\cdot\,} }3x+{\color{Red} {2\,\cdot\,}} 1)$$

$$12+8x=7-(6x+2)$$

$$12+8x=7-6x-2$$

$$12+8x=5-6x$$

Nu kan vi inte förenkla leden var för sig något mer. Då får vi börja lösa ekvationen genom balansering.

Vi ser att vi har flesta x-termer i det vänstra ledet, så vi ska försöka samla alla x-termerna där. Det betyder att vi ska göra oss av med de -6 x-termer som finns i det högra ledet. Genom att addera 6x till båda leden blir vi av med x-termerna i det högra ledet:

$$12+8x=5-6x $$

$$12+8x{\color{Blue} {\,+\,6x}}=5-6x{\color{Blue}{ \,+\,6x}} $$

$$12+14x=5$$

Nu är det bara i det vänstra ledet som det finns x-termer, men vi vill även bli av med konstanttermen 12 i det vänstra ledet. Därför subtraherar vi 12 från båda leden:

$$12+14x=5 $$

$$12+14x{\color{Red}{\,-\,12}}=5{\color{Red} {\,-\,12}}$$

$$14x=-7$$

Slutligen dividerar vi båda leden med 14, så att vi bara får en enda x-term i det vänstra ledet:

$$14x=-7$$

$$\frac{14x}{{\color{Blue} {14}}}=\frac{-7}{{\color{Blue} {14}}} $$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ekvationens lösning är alltså x = -0,5.

---

Ekvationer med variabler i nämnaren

Vi vill även kunna lösa ekvationer där en variabel står i nämnaren i en kvot. Det kan röra sig om den här typen av ekvation:

$$ \frac{12}{x+1}=4$$

Här har vi uttrycket (x + 1) i nämnaren, men vi kan ju inte dividera 12 med (x + 1) när vi inte vet vilket värde x antar. Med hjälp av balansering kan vi ändå lösa ekvationen.

Vi multiplicerar båda leden med (x + 1), det uttryck som står i nämnaren:

$$\frac{12}{x+1}=4$$

$$\frac{12{\color{Blue}{ \,\cdot\,(x+1)}}}{(x+1)}=4{\color{Blue} {\,\cdot\,(x+1)}}$$

I det vänstra ledet har vi faktorn (x + 1) i både täljaren och nämnaren, så dessa faktorer kan vi förkorta bort. I det högra ledet multiplicerar vi in 4:an i parentesen.

$$\frac{12\cdot(x+1)}{(x+1)}=4\cdot(x+1) $$

$$12=4\cdot x+4\cdot 1$$

$$12=4x+4$$

Härifrån är det inte så svårt att lösa färdigt ekvationen:

$$12=4x+4 $$

$$8=4x $$

$$2=x$$

Ekvationen har alltså lösningen x = 2.

Videolektioner

Här går vi igenom ekvationer med variabel i ett led och balansmetoden.

Här går vi igenom ekvationer med variabel i två led och metoderna balansmetoden och flytta över metoden.

Här går vi igenom ekvationer som har obekanta variabler i båda leden.

Här går vi igenom ekvationer med obekanta variabler i nämnaren.