Pythagoras sats

I tidigare avsnitt har vi även lärt oss att räkna med potenser och kvadratrötter.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med Pythagoras sats, vilken är en mycket användbar matematisk sats som gäller för just rätvinkliga trianglar. När vi räknar med Pythagoras sats räknar vi med potenser och kvadratrötter, som vi har lärt oss räkna med i tidigare kapitel.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel är en triangel som har en vinkel som är 90°.

För rätvinkliga trianglar finns det särskilda namn som man brukar använda för att benämna de olika sidorna. De båda sidor som möts i den räta vinkeln kallar vi kateter. Den återstående sidan kallar vi hypotenusa.

I bilden här nedanför är därför sidan c den rätvinkliga triangelns hypotenusa, och sidorna a och b är triangelns kateter.

Pythagoras sats säger oss att det för varje rätvinklig triangel finns följande samband mellan längderna på triangelns sidor:

$$ {a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}$$

där a och b är längderna på kateterna, och c är längden på hypotenusan.

Pythagoras sats har fått sitt namn från den grekiske matematikern Pythagoras, som levde för ungefär 2 500 år sedan. Denna viktiga sats användes dock även tidigare än så, bland annat i Babylonien.

Nu ska vi undersöka hur Pythagoras sats kan användas, genom att först titta på en rätvinklig triangel där vi känner till längden på alla de tre sidorna.

I den rätvinkliga triangeln ovan är vinkeln i hörnet C den räta vinkeln. Det betyder att sidorna med längderna 3 respektive 4 längdenheter är triangelns kateter. Den återstående sidan, som har längden 5, är därför triangelns hypotenusa.

Enligt Pythagoras sats ska det här sambandet gälla mellan denna triangels sidor:

$$ {3}^{2}+{4}^{2}={5}^{2}$$

Vi undersöker om denna likhet gäller, genom att förenkla det vänstra ledet för sig och det högra ledet för sig:

$${3}^{2}+{4}^{2}=$$

$$=3\cdot 3+4\cdot 4=$$

$$=9+16=$$

$$=25$$

$${5}^{2}=$$

$$=5\cdot 5=$$

$$=25$$

Det vänstra ledet blir lika med det högra ledet. Alltså gäller det samband som Pythagoras sats anger för denna triangel.

Om det vänstra ledet inte hade varit lika med det högra ledet, då måste antingen längden på någon av triangelns sidor vara fel eller också kan triangeln inte ha varit rätvinklig. Därför kan vi använda oss av Pythagoras sats till att avgöra om en triangel är rätvinklig.

Räkna med Pythagoras sats

Om vi känner till längden på två av en rätvinklig triangels sidor, så kan vi med hjälp av Pythagoras sats ta reda på längden på den återstående sidan.

Något som är mycket viktigt när vi räknar med Pythagoras sats är att vi håller ordning på vilka sidor som är triangelns kateter och vilken sida som är hypotenusa.

Vi ska nu räkna på några vanliga situationer som kan uppkomma, där vi har användning för Pythagoras sats.

---

Beräkna med hjälp av Pythagoras sats längden av sidan x

Lösningsförslag:

I bilden ser vi att sidorna med längderna 6 respektive 8 cm möts i den räta vinkeln. Därför är dessa båda sidor den rätvinkliga triangelns kateter. Sidan med längden x cm måste då vara triangelns hypotenusa.

När vi nu vet vilka sidor som är kateter och vilken som är hypotenusa, kan vi använda oss av Pythagoras sats för att beräkna värdet på x:

$$ {6}^{2}+{8}^{2}={x}^{2}$$

$$36+64={x}^{2} $$

$$100={x}^{2}$$

Enligt denna ekvation ska x multiplicerat med sig självt vara lika med 100. För att lösa ekvationen beräknar vi kvadratroten ur 100, vilket ju ger det tal som multiplicerat med sig självt blir 100.

$$ x=\sqrt{100}=10$$

Nu har vi alltså kommit fram till att hypotenusan måste ha längden 10 cm.

---

Beräkna med hjälp av Pythagoras sats längden av sidan x

Lösningsförslag:

Vi börjar med att titta efter den räta vinkeln, som vi hittar nere till vänster i figuren. Sidorna med längderna x meter respektive 12 meter möts i den räta vinkeln, så dessa båda sidor är kateter. Sidan med längden 13 meter måste därför vara hypotenusan.

Eftersom vi nu vet vilka sidor som är kateter och vilken som är hypotenusa, kan vi med hjälp av Pythagoras sats ställa upp det här sambandet mellan sidornas längder:

$$ {x}^{2}+{12}^{2}={13}^{2}$$

För att ta reda på värdet på x börjar vi med att förenkla denna ekvations båda led:

$${x}^{2}+{12}^{2}={13}^{2}$$

$${x}^{2}+144=169$$

$${x}^{2}+144{\color{Red} \,-\,144}=169{\color{Red} \,-\,144}$$

$${x}^{2}=25$$

Enligt denna ekvation ska x multiplicerat med sig självt vara lika med 25. Därför måste x vara lika med kvadratroten ur 25.

$$ x=\sqrt{25}=5$$

Sidan x måste alltså ha längden 5 meter.

Videolektioner

Här går vi igenom Pythagoras sats.

Här fortsätter vi gå igenom Pythagoras.

Här går vi igenom Pythagoras sats.

Här går vi igenom hur man räknar med Pythagoras sats.