Trigonometriska funktioner

Ursprungligen definierade vi sinus och cosinus utifrån en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel. I samband med att vi introducerade enhetscirkeln expanderade vi definitionen av sinus och cosinus så att vi nu hanterar godtyckligt stora vinklar.

I det här avsnittet ska vi bygga vidare på vad vi kommit fram till om sinus och cosinus för olika vinklar genom att börja titta på trigonometriska funktioner och deras egenskaper. Trigonometriska funktioner är mycket användbara för att beskriva till exempel periodiska fenomen och förekommer i många olika sammanhang.

Sinus- och cosinusfunktionerna

På samma sätt som vi tidigare har definierat funktioner med hjälp av oberoende och beroende variabler, kan vi nu introducera trigonometriska funktioner. Om vi låter \(x\) beteckna en oberoende variabel och \(y = f(x) \) en beroende variabel, kan vi skriva sinusfunktionen så här:

$$f(x)=\sin\,x$$

På motsvarande sätt kan vi skriva cosinusfunktionen så här:

$$f(x)=\cos\,x$$

Undersöker vi dessa båda funktioners respektive definitionsmängd och värdemängd, så ser vi att båda funktionerna nu är definierade för alla reella värden och att värdemängden för respektive funktion är

$$-1\leq f(x)\leq 1$$

Skissar vi dessa funktioners grafer i ett rätvinkligt koordinatsystem, så antar kurvorna formen av vågor med funktionsvärden som återkommer med jämna mellanrum med avseende på den oberoende variabeln.

Nedan kan vi se en sinuskurva skissad i ett koordinatsystem.

Här nedan har vi på motsvarande sätt en cosinuskurva.

För sinusfunktionen gäller att när x = 0° så bli f(0°) = 0. När x ökar från 0°, ökar också funktionsvärdet. Denna ökning fortgår fram till dess x = 90°, då f(90°) = 1. Därefter avtar funktionsvärdet successivt ner till dess x = 270°, då f(270°) = -1. Efter detta lägsta funktionsvärde ökar åter funktionsvärdet och vid x = 360° blir f(360°) = 0. Efter detta variabelvärde upprepas mönstret med perioden 360°.

På samma sätt kan vi studera funktionsvärdena för sinusfunktionen då den oberoende variabeln x har enheten radianer istället för grader. Dock gäller det att vara tydlig med vilken enhet den oberoende variabeln har.

Om vi på motsvarande sätt som för sinusfunktionen studerar cosinusfunktionen och dess kurva, så märker vi snart att den är identisk med sinusfunktionen med den skillnaden att den är förskjuten i "sidled" (den oberoende variabelns värde) - cosinuskurvan kan sägas ligga 90° (π/2 radianer) "före" sinuskurvan, eftersom de båda funktionerna har samma värde om vi adderar 90° (eller π/2 radianer) till värdet på den oberoende variabeln för sinusfunktionen. Exempelvis är cos 0° = sin 90°.

Amplitud

Som vi redan har kommit fram till är värdemängderna för såväl sinus- som cosinusfunktionen

$$-1\leq f(x)\leq 1$$

Om vi vill att en sinus- eller cosinusfunktions funktionsvärden ska tillåtas variera mellan andra värden än dessa, då kan vi ändra dess amplitud. Utgår vi från den ursprungliga sinusfunktionen

$$f(x)=\sin\,x$$

så kan vi till exempel öka amplituden med en faktor 2 genom att istället skriva funktionen så här:

$$f(x)=2\sin\,x$$

Denna funktion kommer att ha samma definitionsmängd som den ursprungliga sinusfunktionen, men dess värdemängd kommer att bli

$$-2\leq f(x)\leq 2$$

Skissar vi den ursprungliga sinusfunktionens kurva (röd färg i figuren nedan) och kurvan som hör till sinusfunktionen som har amplituden 2 (blå färg i figuren) i samma rätvinkliga koordinatsystem, så får vi följande:

På motsvarande sätt kan vi göra med cosinusfunktionen och för andra amplituder än 2.

Om vi har en given sinus- eller cosinuskurva uppritad i ett rätvinkligt koordinatsystem, men inte har tillgång till funktionsuttrycket, så är det ofta enklast att bestämma funktionens amplitud genom att läsa av och beräkna halva differensen mellan funktionens största och minsta värden.

Period

Vi har tidigare kunnat se att sinus- och cosinusfunktionerna har en period på 360° (2π radianer). Dock kan det ju vara så att vi vill ha en sinus- eller cosinusfunktion med någon annan period.

För att ändra en sinus- eller cosinusfunktions period, introducerar vi en faktor före den oberoende variabeln i funktionsuttrycket. Därigenom har sinusfunktionen

$$f(x)=\sin\,2x$$

en period på 180° (π radianer).

För att inse att denna funktion kommer att ha halva perioden jämfört med den ursprungliga sinusfunktionen, kan fundera på vilka värden uttrycket 2x får för olika värden på x. För ett givet värde på variabeln x kommer 2x att ha det dubbla värdet, vilket vi sedan ska beräkna det trigonometriska värdet för. Därigenom kommer denna trigonometriska funktion att ha halva perioden.

Skissar vi upp grafen till funktionen f(x) = sin 2x i ett rätvinkligt koordinatsystem, så kommer vi att se att kurvan har dubbelt så täta svängningar upp och ner som den ursprungliga sinusfunktionen har. Detta beror alltså på att funktionerna har olika period.

Om vi har en sinus- eller cosinuskurva uppritad i ett koordinatsystem och vill ta reda på vilken period den har, är ofta det enklaste sättet att läsa av det horisontella avståndet mellan två av kurvans närliggande "toppar" (maximala funktionsvärden) eller "dalar" (minimala funktionsvärden). Detta avstånd utgör funktionens period.

Som vi ser i figuren ovan har funktionen f(x) = sin x perioden 360°, medan funktionen f(x) = sin 2x har perioden 180°.

Förskjutning i x-led och i y-led

Utöver att sinus- och cosinusfunktioner kan ha olika amplitud och period, kan deras kurvor även vara förskjutna i x-led och/eller y-led.

Vi har redan konstaterat att en cosinuskurva kan ses som en sinuskurva som är förskjuten "åt vänster" i koordinatsystemet, det vill säga med avseende på den oberoende variabeln, med 90° jämfört med motsvarande sinuskurva. Därför har vi

$$f(x)=\cos\,x=\sin\,(x+{90}^{\circ})$$

På liknande sätt kan vi förskjuta sinus- och cosinuskurvor i x-led genom att addera eller subtrahera en vinkel till den oberoende variabeln. Har vi en sinusfunktion

$$f(x)=\sin\,x$$

och adderar en vinkel 90°, så att vi får

$$f(x)=\sin\,(x+{90}^{\circ})$$

så blir dess kurva förskjuten åt vänster med 90°; subtraherar vi istället en vinkel 90°, så får vi

$$f(x)=\sin\,(x-{90}^{\circ})$$

vars kurva är förskjuten åt höger med 90°.

Vill vi istället förskjuta kurvan i y-led, gör vi på samma sätt som för andra typer av funktioner, till exempel linjära funktioner. Har vi en linjär funktion

$$f(x)=5x$$

så kan vi ju förskjuta den kurvan ett steg uppåt i y-led genom att addera en konstantterm 1, så att vi skriver funktionen som

$$f(x)=5x+1$$

På motsvarande sätt kan vi förskjuta en sinusfunktion

$$f(x)=\sin\,x$$

ett steg uppåt i y-led genom att addera 1 till funktionsuttrycket, så att vi får

$$f(x)=\sin\,x+1$$

eller ett steg nedåt i y-led genom att subtrahera 1, så att vi får

$$f(x)=\sin\,x-1$$

Grafisk lösning av trigonometriska ekvationer

Vi har tidigare sett hur vi kan lösa trigonometriska ekvationer genom beräkningar och med hjälp av enhetscirkeln, då dessa ekvationer ofta har många möjliga lösningar.

Vi kan även använda oss av en trigonometrisk funktions graf för att få en uppfattning om möjliga lösningar av en trigonometrisk ekvation.

Vi tittar på ett exempel

Har vi följande ekvation

$$\sin\,3x=\frac{1}{2}$$

så kan vi få en uppfattning om dess lösningar genom att skissa kurvorna

$$f(x)=\sin\,3x$$

och

$$f(x)=\frac{1}{2}$$

Skärningspunkterna mellan dessa båda kurvor kommer att vara lösningar av ekvationen. Detta är i grunden samma sätt att lösa ekvationer grafiskt som vi har använt tidigare, med den modifikationen att trigonometriska funktioner är periodiska, vilket vi måste ta hänsyn till då vi anger lösningar.

Vår sinusfunktion har perioden

$$\frac{{360}^{\circ}}{3}={120}^{\circ}$$

Undersöker vi skärningspunkterna mellan de båda kurvorna så ser vi att vi i intervallet

$${0}^{\circ}\leq x\leq {120}^{\circ}$$

har två skärningspunkter: en där x = 10° och en där x = 50°. Dessa båda x-värden utgör lösningar till ekvationen.

Men eftersom sinusfunktionen är periodisk kommer vi att kunna finna ytterligare lösningar om vi tar hänsyn till perioden 120°. Därför har ekvationen följande lösningar:

$$x={10}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

där n är ett heltal, och

$$x={50}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ} $$

där n är ett heltal.

Nedan har vi en interaktiv animation från GeoGebra med en enhetscirkel till vänster och värdena för trigonometriska funktioner plottas ut i koordinatsystemet till höger, testa att välja olika funktioner och se hur animeringen förändras och även att byta ut mot grader och radianer. Knappen "Animate A" startar animeringen av punkten A.