Uppgift 9
- Visa att cos2x(sin2xcos2x+1)=1 för alla x där uttrycken är definierade.
- Visa att √2cos(x+π4)=cosx−sinx
a)
VL=cos2x(sin2xcos2x+1)=
=cos2x⋅sin2xcos2x+cos2x=
=sin2x+cos2x=1=HL
b)
VL=√2cos(x+π4)=
=cos(x+π4)1√2=
=cosx⋅cos(π4)−sinx⋅sin(π4)1√2=
=cosx⋅1√2−sinx⋅1√21√2=
=1√2⋅(cosx−sinx)1√2=
=cosx−sinx=HL
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 4, vårterminen 2013" - Ladda ner provet här
- Visa att \(cos^2x\left ( \frac{sin^2x}{cos^2x}+1 \right )=1\) för alla x där uttrycken är definierade.
- Visa att \(\sqrt2\cos(x+\frac{\pi}{4})=\cos x-\sin x\)
a)
$$VL=\cos^2x( \, \frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1) \, =$$
$$=\frac{\cos^2x\cdot\sin^2x}{\cos^2x}+\cos^2x=$$
$$=\sin^2x+\cos^2x=1=HL$$
b)
$$VL=\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})=$$
$$=\frac{\cos(x+\frac{\pi}{4})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$$
$$=\frac{\cos x\cdot\cos(\frac{\pi}{4})-\sin x\cdot\sin(\frac{\pi}{4})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$$
$$=\frac{\cos x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}-\sin x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(\cos x-\sin x)}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$$
$$=\cos x-\sin x=HL$$
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 4, vårterminen 2013" - Ladda ner provet här