Derivatan av sammansatta funktioner

I Matte 3-kursen lärde vi oss en hel del om derivata och hur man med hjälp av derivatans definition kan formulera ett antal användbara deriveringsregler.

I det här och följande avsnitt kommer vi att lära oss mer om deriveringsregler som gäller för ett antal vanligt förekommande typer av funktioner. I det här avsnittet undersöker vi derivatan av sammansatta funktioner. I kommande avsnitt hittar vi några viktiga funktioners derivata och lär oss sedan beräkna derivatan av produkter och derivatan av kvoter. Slutligen kommer vi även att bekanta oss med differentialekvationer, ett viktigt område som återkommer mycket i högre kurser i ämnet matematik.

Sammansatta funktioner

Om vi har en funktion som till exempel

$$f(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$

så kan vi beräkna dess derivata om vi först använder den andra kvadreringsregeln för att skriva om funktionen som

$$f(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}={16x}^{2}-24x+9$$

Skriven på denna form har funktionen en känd derivata enligt deriveringsreglerna som gäller för polynomfunktioner:

$$f\,'(x)=32x-24$$

I det här fallet var det enkelt att skriva om funktionsuttrycket och sedan derivera funktionen, men om funktionen är mer komplicerad vore det praktiskt att kunna derivera en sådan funktion direkt istället för att först behöva skriva om den.

Om vi tittar på vår ursprungliga funktion

$$f(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$

så kan vi se den som en sammansatt funktion, bestående av de två enklare funktionerna

$$f(x)=f(u)={u}^{2}$$

och

$$u=g(x)=4x-3$$

Skriver vi ihop dessa funktioner så får vi

$$f(x)=f(u)=f(g(x))=$$

$$=f(4x-3)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$

vilket ju var vårt ursprungliga funktionsuttryck.

När vi har en sammansatt funktion av typen f(g(x)) kallar vi funktionen f den yttre funktionen och funktionen g den inre funktionen. Dessa begrepp kommer vi att ha användning för då vi ska beräkna sammansatta funktioners derivata.

Kedjeregeln

Som vi redan har lagt märke till är våra inre och yttre funktioner i exemplet ovan enkla att derivera utifrån våra redan kända deriveringsregler.

Den yttre funktionen

$$f(u)={u}^{2}$$

har derivatan (med avseende på u)

$$f\,'(u)=2u=2\cdot (4x-3)=8x-6$$

Den inre funktionen

$$g(x)=4x-3$$

har derivatan (med avseende på x)

$$g\,'(x)=4$$

Den deriveringsregel som gäller för sammansatta funktioner kallas kedjeregeln och lyder för en sammansatt funktion

$$f(x)=f(g(x))$$

enligt följande:

$$f\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Derivatan av en sammansatt funktion är alltså lika med produkten av den yttre funktionens derivata och den inre funktionens derivata.

Derivatan av vårt exempel på en sammansatt funktion blir alltså

$$f\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=$$

$$=2\cdot (4x-3)\cdot 4=$$

$$=(8x-6)\cdot 4=$$

$$=32x-24$$

Har vi en sammansatt funktion

$$f(x)=f(g(x))$$

och vi vill ta reda på denna funktions derivata, då behöver vi alltså gå igenom följande steg:

1. Identifiera de yttre och inre funktionerna f(u) respektive u = g(x).
2. Derivera de yttre och inre funktionerna, så att vi har f'(u) och g'(x).
3. Beräkna produkten av den yttre funktionens derivata och den inre funktionens derivata enligt kedjeregeln.

Vi tillämpar detta sätt att bestämma en sammansatt funktions derivata på ett exempel

Derivera följande funktion:

$$f(x)=5\left ( 2x+4 \right )^{3}-6$$

Det första vi ska göra är att identifiera en yttre funktion och en inre funktion.

Vi kan skriva funktionen så här:

$$f(x)=f(u)=5{u}^{3}-6$$

där f(u) är den yttre funktionen och

$$u=g(x)=2x+4$$

är den inre funktionen.

I nästa steg deriverar vi den yttre funktionen och den inre funktionen var för sig.

Den yttre funktionens derivata blir

$$f'(u)=15{u}^{2}=15{(2x+4)}^{2}$$

Den inre funktionens derivata blir

$$g'(x)=2$$

Slutligen använder vi kedjeregeln för att beräkna den sammansatta funktionens derivata och förenklar den så långt vi kan (i detta fall med hjälp av första kvadreringsregeln:

$$f\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=$$

$$=15\cdot {(2x+4)}^{2}\cdot 2=$$

$$=15\cdot (4{x}^{2}+16x+16)\cdot 2=$$

$$=120{x}^{2}+480x+480 $$