Lösning av trigonometriska ekvationer

I det förra avsnittet kom vi med hjälp av enhetscirkeln fram till att sinus och cosinus för en vinkel v har perioden 360° och att tangens för en vinkel v har perioden 180°.

I det här avsnittet ska vi använda oss av denna kunskap för att lösa olika trigonometriska ekvationer, där det trigonometriska värdet är känt men inte vinkeln.

När vi har en ekvation där vi känner till det trigonometriska värdet och vi vill hitta en vinkel, då har vi tre grundläggande fall som kan uppkomma och som vi behöver kunna hantera.

Det första fallet är då vi känner till det trigonometriska värdet, a, av sinus för en okänd vinkel v:

$$\sin\,v=a$$

Det andra fallet är då vi känner till det trigonometriska värdet, b, av cosinus för en okänd vinkel v:

$$\cos\,v=b$$

Det tredje fallet är då vi känner till det trigonometriska värdet, c, av tangens för en okänd vinkel v:

$$\tan\,v=c$$

Vi ska undersöka vart och ett av dessa tre fall.

Sin v = a

Som vi vet sedan tidigare motsvarar sin v y-koordinaten för en godtycklig punkt på enhetscirkelns periferi. Om vi har ett känt trigonometriskt värde a för vilket sambandet

$$\sin\,v=a$$

gäller, så innebär det att det finns två lösningar på denna trigonometriska ekvation i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°, vilket vi kan se i följande figur.

Vi kommer att hitta en lösning på ekvationen om vi med hjälp av en miniräknare beräknar

$$v_1=\arcsin\,a$$

Har vi till exempel den trigonometriska ekvationen

$$\sin\,v=\frac{1}{2}$$

då blir

$$v_1=\arcsin\,\left (\frac{1}{2} \right )={30}^{\circ}$$

Detta är dock bara en lösning på ekvationen. I Matte 3-kursens avsnitt om trigonometriska ekvationer kom vi fram till att den andra lösningen på ekvationen i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° fås av

$$\sin\,v=\sin\,({180}^{\circ}-v)$$

där v är den vinkel vi får med hjälp av miniräknaren.

Därför är den andra lösningen på ekvationen följande:

$$v_2={180}^{\circ}-v_1$$

I vårt exempel, där vi kom fram till att v₁ = 30°, blir alltså den andra lösningen

$$v_2={180}^{\circ}-v_1={180}^{\circ}-{30}^{\circ}={150}^{\circ}$$

Dessa båda vinkelvärden är alltså lösningar på ekvationen och båda lösningarna ligger i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.

Men eftersom vi vet att sin v har perioden 360° kommer vi att få följande lösningar på ekvationen, då vi söker lösningar för godtyckligt stora vinklar v:

$$v={30}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n är ett heltal, och

$$v={150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n är ett heltal.

Cos v = b

På liknande sätt som vi resonerade ovan, vet vi att det trigonometriska värdet av cos v motsvarar x-koordinaten för en godtycklig punkt på enhetscirkelns periferi. Har vi ett känt trigonometriskt värde b för vilket

$$\cos\,v=b$$

gäller, så finns det två lösningar på denna trigonometriska ekvation i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°, vilket vi kan se i följande figur.

Den av dessa båda lösningar som har den minsta positiva vinkeln v kommer vi att hitta om vi med hjälp av en miniräknare beräknar

$$v_1=\arccos\,b$$

Har vi till exempel den trigonometriska ekvationen

$$\cos\,v=\frac{1}{2}$$

det vill säga b = 1/2, då blir den sökta vinkeln

$$v_1=\arccos\,\left (\frac{1}{2} \right )={60}^{\circ}$$

Detta är alltså den mindre av de två lösningarna i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°. Den andra lösningen kommer att bli den andra punkten på enhetscirkelns periferi som även den har x-koordinaten x = 1/2. Denna andra punkt får vi med hjälp av sambandet

$$\cos\,v=\cos\,({360}^{\circ}-v)$$

där v är den vinkel vi får med hjälp av miniräknaren.

Den andra lösningen på ekvationen blir därför följande:

$$v_2={360}^{\circ}-v_1$$

I vårt exempel, där vi kom fram till att v₁ = 60°, blir den andra lösningen därför

$$v_2={360}^{\circ}-v_1={360}^{\circ}-{60}^{\circ}={300}^{\circ}$$

Dessa båda vinkelvärden är alltså lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.

Men eftersom vi vet att cos v har perioden 360° kommer vi att få följande lösningar på ekvationen:

$$v={60}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n är ett heltal, och

$$v={300}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n är ett heltal.

Tan v = c

När vi vill hitta lösningar v på en trigonometrisk ekvation av typen

$$\tan\,v=c$$

får vi dock komma ihåg att tan v har perioden 180°. Vi kan beräkna v som

$$v=\arctan\,c$$

Är till exempel det trigonometriska värdet c = 1, så löser vi ekvationen som

$$v=\arctan\, 1={45}^{\circ}$$

Detta är bara en lösning på den trigonometriska ekvationen. Eftersom tangens av en vinkel v har perioden 180° får vi samtliga lösningar på ekvationen som

$$v={45}^{\circ}+n\cdot {180}^{\circ}$$

Mer komplicerade trigonometriska ekvationer

Ovan såg vi hur vi kan lösa enkla trigonometriska ekvationer med hjälp av enhetscirkeln och kunskap om perioden hos sinus, cosinus och tangens av en vinkel v.

Ofta kan vi dock stöta på mer komplicerade uttryck som del i trigonometriska ekvationer, som vi behöver kunna hantera. 

Vi ska nu titta på några sådana trigonometriska ekvationer och hur vi löser dem. 

Lös ekvationen

$$\sin\,5x=\frac{1}{2}$$

i intervallet 0 ≤ x ≤ 90°.

Vårt första steg mot lösning av ekvationen blir att lösa ut 5x.

$$5x=\arcsin\left (\frac{1}{2} \right )={30}^{\circ}$$

Eftersom sin v har perioden 360° får vi följande ekvationen:

$$5x=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}$$

Som vi vet sedan tidigare har vi ytterligare en lösning på sin v = 1/2 som vi måste ta hänsyn till, nämligen

$$5x=({180}^{\circ}-{30}^{\circ})+n\cdot {360}^{\circ}=$$

$$={150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

I detta fall får vi alltså ekvationen

$$5x=150^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}$$

För att lösa ut x ur dessa ekvationer dividerar vi hela ekvationen med 5. När vi gör detta måste vi också dividera perioden 360° med 5, så vi får följande två fall utifrån våra två ekvationer:

Fall 1

$$\frac{5x}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{30}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x=\frac{{30}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x={6}^{\circ}+n\cdot {72}^{\circ}$$

I intervallet 0 ≤ x ≤ 90° hittar vi följande två lösningar:

$$x_1={6}^{\circ}$$

$$x_2={6}^{\circ}+{72}^{\circ}={78}^{\circ}$$

Fall 2

$$\frac{5x}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x=\frac{{150}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x={30}^{\circ}+n\cdot {72}^{\circ}$$

I intervallet 0 ≤ x ≤ 90° hittar vi följande tredje lösning:

$$x_3={30}^{\circ}$$

Det gick alltså att hitta tre lösningar på den ursprungliga trigonometriska ekvationen i intervallet 0 ≤ x ≤ 90°, vilket vi sammanfattar som:

$$x_1={6}^{\circ}$$

$$x_2={78}^{\circ}$$

$$x_3={30}^{\circ}$$

Vi tittar på ett ytterliggare exempel

Lös ekvationen

$$\cos\,(3x+{15}^{\circ})=0$$

Vårt första steg mot lösning av ekvationen blir att lösa ut 3x + 15°.

$$3x+{15}^{\circ}=\arccos\,0={90}^{\circ}$$

Eftersom cos v har perioden 360° får vi följande ekvationen:

$$3x+{15}^{\circ}={90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

Detta är vårt första fall, men här får vi inte glömma att det även finns en annan vinkel v som ger cos v = 0, nämligen

$$v={90}^{\circ}+{180}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}=$$

$$={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

Det ger oss alltså ekvationen

$$3x+{15}^{\circ}={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

Detta är vårt andra fall.

(Ett annat sätt att skriva detta fall är

$$3x+{15}^{\circ}={-90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

vilket är ekvivalent.)

Precis som i vårt tidigare exempel kommer vi att få vara försiktiga med vad som händer med perioden då vi går vidare mot våra lösningar på ekvationerna.

Fall 1

$$3x+{15}^{\circ}={90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x+{15}^{\circ}{\color{Red} \,-\,{15}^{\circ}}={\color{Red} {-\,15}^{\circ}}+{90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x={75}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{{75}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}$$

$$x={25}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

Fall 2

$$3x+{15}^{\circ}={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x+{15}^{\circ}{\color{Red} \,-\,{15}^{\circ}}={\color{Red} -\,{15}^{\circ}}+{270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x={255}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{{255}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}$$

$$x={85}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

Eftersom vi inte sökt lösningar i något specifikt intervall, har vi alltså följande lösningar på den ursprungliga trigonometriska ekvationen:

$$x={25}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

eller

$$x={85}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$