Dubbla Vinkeln

1) Beräkna \(\cos u\), \(\sin u\) och \(\tan u\) exakt. Beräkna ett närmevärde till \(u\) med en decimal.

2) Använd trigonometriska formler för att beräkna \(\cos 2u\) och \(\sin 2u\).

Lösningsförslag:

1)

Först måste vi beräkna \(c\), Pythagoras sats ger:

$$\begin{align} c^2= & 3^2+4^2=25 \\ c = & \sqrt{25}\\ c= & 5\end{align}$$

Med hjälp av trigonometriska samband kan vi nu räkna ut \(\cos u\), \(\sin u\) och \(\tan u\) exakt:

$$\begin{align} & \cos u = \frac{4}{5}\\ & \sin u = \frac{3}{5} \\ & \tan u = \frac{3}{4} \end{align}$$

Ett närmevärde för \(u\) kan räknas ut genom att använda något av de trigonometriska sambanden ovan. Vi väljer att räkna med det samband som använder sig av \(\cos\), genom att göra följande:

$$\begin{align}\cos u & =\frac{4}{5} \\ \arccos (\cos u) & = \arccos \left(\frac{4}{5}\right) \\ u & \approx 36.9^{\circ}\end{align}$$

2)

För att lösa denna uppgift måste vi använda oss av formler för dubbla vinkeln. För att räkna ut \(\cos 2u\) och \(\sin 2u\) gör vi på följande vis:

$$\begin{align}\cos 2u = &  \cos^2 u -\sin^2 u\\ = & \left(\frac{4}{5}\right)^2- \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ = & \frac{16}{25}-\frac{9}{25}\\ = & \frac{7}{25}\end{align}$$

$$\begin{align} \sin 2u = & 2\cdot \sin u \cdot \cos u\\ = & 2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5} \\ = & \frac{24}{25}\end{align}$$