Rotationsvolymer

I detta avsnitt så kommer vi visa hur vi tack vare integraler kan beräkna volymer som skapas av att rotera funktioners grafer runt x- eller y-axeln och skapar därmed tredimensionella figurer, dessa kallar vi för rotationsvolymer.

Denna metod är användbar för ovanliga tredimensionella figurer med volymer som vi inte har en vanlig formel för. Vi börjar ändå med en känd tredimensionell figur, en kon, för att beskriva användandet av integraler för att beräkna volymen och jämför med den bekanta formeln. Den har volymen \(V = \frac{\pi\cdot h \cdot r^2}{3}\), vi tittar på ett exempel.

Den här konen har radien \(r = 2\) och höjden \(h = 3\) och därför blir volymen

$$V=\frac{\pi\cdot h \cdot r^2}{3} = \frac{\pi\cdot 3 \cdot 2^2}{3}= 4\pi \approx 12,57 \text{ volymenheter}$$

För att visa hur detta kan beräknas med hjälp av integraler så ska vi modellera en funktion som när den roteras runt x-axeln blir samma kon. Vi ritar upp linjen \(y = \frac{2x}{3}\) i intervallet \(0 \leq x \leq 3\)

Likt hur vi definierade integraler i Matte 3 kan vi dela upp denna rotationsvolym i skivor av cylindrar där radien kommer ligga på linjen \(y = \frac{2x}{3}\), Vi illustrerar detta i bilden nedan.

Volymen kommer då bestå av en summa av tvärsnittsarean av cylindrarna multiplicerat med höjden av dem. Sen kommer vi, också så som i definitionen av integraler, låta antalet skivor gå mot oändligheten (och då går höjden av cylindrarna gå mot 0) och då kommer vi kunna beräkna volymen med en integral som ser ut som nedan.

$$V = \int_0^h A(x) \: dx$$

I integralen så är \(h\) konens höjd och \(A(x)\) motsvarar tvärsnittsarean på skivorna. Vi kan hitta ett uttryck för denna tvärsnittsarea, den utgörs av en cirkels area där radien kommer bestämmas av linjen \(y = \frac{2x}{3}\), därför blir

$$ A(x) = \pi \cdot y^2 = \pi \cdot {\left(\frac{2x}{3}\right)}^2 $$

som vi nu kan sätta in i integralen.

$$ V= \int_0^h \pi \cdot y^2 \: dx = \int_0^3 \pi \cdot {\left(\frac{2x}{3}\right)}^2 \: dx = \int_0^3 \pi  \frac{4x^2}{9} \: dx \\ = \left[ \pi \frac{4x^3}{27}\right]_0^3 = \frac{\pi\cdot4\cdot3^3}{27} – 0 = 4\pi \approx 12,57 $$

Vilket var samma volym som vi fick ut med hjälp av formeln tidigare.

Denna metod kallas skivmetoden efter skivorna vi delade upp volymen ifrån början och allmänt så kan vi beräkna en rotationsvolym med integralen

$$V= \int_a^b A(x) \: dx$$

där \(a\) och \(b\) är gränserna i x-led och \(A(x)\) är tvärsnittsarean vinkelrät mot x-axeln. Vi kan göra formeln ännu mer specifik genom att bestämma tvärsnittsarean beroende på om funktionen \(y= f(x)\) roterar kring x-axeln eller y-axeln.

Formler

Rotation kring x-axeln ger tvärsnittsarean alltid \(A(x) = \pi \cdot y^2\) och volymen beräknas med

$$V= \int_a^b \pi\cdot y^2\: dx$$

där a och b är begränsningarna i x-led

Om vi istället har en rotation kring y-axeln så måste vi byta variabler.

Rotation kring y-axeln ger tvärsnittsarean \(A(y) = \pi\cdot x^2\) och volymen beräknas med

$$ V= \int_a^b \pi\cdot x^2 dy $$

där a och b är gränserna i y-led.

Vi tittar på ett exempel på en kurva som roteras både i x- och y-led.

Exempel

Beräkna volymen exakt för den rotationsvolym som uppstår när kurvan \(y = 9 – x^2\) roterar kring den positiva x-axeln och y-axeln.

Vi börjar med rotationen kring x-axeln och bestämmer integrationsgränserna, de kommer utgöras av skärningarna med y- och x-axeln, alltså från 0 till 3.

Vi använder formeln fick ovan för att beräkna volymen

$$ V =\int_0^3 \pi y^2 \: dx = \int_0^3 \pi (9-x^2)^2 \: dx = \int_0^3 \pi (81-18x^2+x^4) \: dx $$

Eftersom \(\pi \) är en konstant som multipliceras med hela uttrycket kan vi flytta det utanför parenteserna, men glöm inte att skriva med \(\pi\) i varje steg ändå.

$$= \pi \left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^3 = \pi \left(81\cdot3-6\cdot3^3+\frac{3^5}{5} -0\right) = \\ = \pi \left(243-162+\frac{243}{5}\right) = \frac{648\pi}{5}  \text{ volymenheter} $$

Svar: Rotationsvolymen kring x-axeln är \(\frac{648\pi}{5}\) v.e.

Nu tittar vi på rotationsvolymen i y-led och får integrationsgränserna i y-led 0 och 9

Vi behöver nu en kurva som beror på y istället för x och löser därför ut x ur kurvans ekvation \(y = 9-x^2\) och får då \(x = \sqrt{9 -y}\) (gäller för \(x \geq 0\))

Rotationsvolymen blir då

$$V = \int_0^9 \pi x^2 dy = \int_0^9 \pi \left(\sqrt{9-x^2}\right)^2 dy = $$

$$\int_0^9 \pi (9-y) dy = \pi \left[9y-\frac{y^2}{2}\right]_0^9 = \pi \left(81-\frac{81}{2} -0\right) = \frac{81\pi}{2} \text{ v.e.}$$

Svar: Rotationsvolymen kring y-axeln är \(\frac{81\pi}{2}\) v.e.

Sammanfattning

För en kurva \(y = f(x)\) så gäller:

Rotation kring x-axeln ger volymen

$$V= \int_a^b \pi\cdot y^2\: dx$$

där a och b är begränsningarna i x-led

Rotation kring y-axeln ger volymen

$$ V= \int_a^b \pi\cdot x^2 dy $$

där a och b är gränserna i y-led.