Komplexa tal i polär form

I det inledande avsnittet om komplexa tal stötte vi på att vi kan skriva komplexa tal i rektangulär form, som z = a + bi, där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten. Vi har också sett att vi kan representera ett komplext tal i det komplexa talplanet som antingen enbart en punkt eller en pil som går från origo till punkten.

I det här avsnittet ska vi introducera ett annat sätt att entydigt skriva komplexa tal, nämligen i polär form. Att skriva komplexa tal i polär form gör att det blir mycket enklare att multiplicera eller dividera komplexa tal än om vi skulle utföra motsvarande räkneoperationer på komplexa tal skrivna i rektangulär form.

Polär form

Eftersom vi entydigt kan representera ett komplext tal, \(z = a + bi\), i det komplexa talplanet som en punkt eller en pil som går från origo till punkten, är det också möjligt att skriva det komplexa talet utifrån pilens längd mellan origo och punkten, samt vinkeln mellan pilen och den reella axelns positiva sida (Re). Skriver vi det komplexa talet z på detta sätt så är det skrivet i polär form.

För att kunna skriva ett komplext tal z i polär form behöver vi alltså dels pilens längd och dels vinkeln.

Absolutbeloppet |z|

Pilens längd kan vi beräkna på motsvarande sätt som vi gör då vi vill ta reda på en vektors längd, det vill säga genom att vi beräknar det komplexa talets absolutbelopp, |z|. Vi kan bilda en rätvinklig triangel utifrån pilens längd mellan origo och punkten som triangelns hypotenusa, och det komplexa talets realdel och imaginärdel som respektive katet. Därigenom kan vi beräkna det komplexa talets absolutbelopp med hjälp av Pythagoras sats:

$${|z|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$$

$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$

Har vi till exempel ett komplext tal z = 8 + 6i, så blir detta tals absolutbelopp

$$|z|=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Argumentet för z

För att skriva det komplexa talet z i polär form behöver vi även känna till vinkeln mellan pilen som går från origo till punkten och den reella axelns positiva sida (Re). Denna vinkel kallar vi det komplexa talets argument, eller argumentet för z, vilket vi kan skriva som arg z.

Argumentet för z kan vi beräkna med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden. Om vi betecknar vinkeln mellan den reella axelns positiva sida med v, så kan vi för komplexa tal z i den första kvadranten skriva sambandet som

$$\tan\,v=\frac{b}{a}$$

där b är imaginärdelen och a är realdelen. Detta ger oss vinkeln

$$v=\arctan\,\left (\frac{b}{a} \right )$$

Har vi till exempel ett komplext tal z = 8 + 6i, så blir denna vinkel, som i detta fall även utgör argumentet för z, lika med

$$v=\arctan\,\left (\frac{6}{8} \right )\approx{37}^{\circ}$$

Med de beteckningar vi har infört kan vi hitta uttryck för Re z = a och Im z = b som enbart beror på absolutbeloppet |z| och argumentet för z.

Vi kan skriva

$$\sin\,v=\frac{b}{|z|}$$

vilket ger oss

$$b=|z|\cdot \sin\,v$$

På motsvarande sätt kan vi skriva

$$\cos\,v=\frac{a}{|z|}$$

vilket ger oss

$$a=|z|\cdot \cos\,v$$

Sammantaget kan vi alltså skriva ett komplex tal z = a + bi som

$$z=|z|\cdot \cos\,v+i\cdot |z|\cdot \sin\,v=$$

$$=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$

vilket är z skrivet i polär form.

Med de beteckningar vi använder kan vi se det komplexa talet i det komplexa talplanet så här:

Skriv följande komplexa tal i polär form.

$$z=-2+i$$

För att kunna skriva talet i polär form behöver vi ta reda på dels absolutbeloppet av z och dels argumentet för z. I följande figur kan vi se det komplexa talets absolutbelopp och argument:

Absolutbeloppet av z beräknar vi som

$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$$

Argumentet för z blir lite knepigare än tidigare, eftersom vårt komplexa tal nu ligger i den andra kvadranten.

Vi kan bilda en rätvinklig triangel i den andra kvadranten, för vilken vi har en spetsig vinkel

$$u=\arctan\,\left (\frac{|a|}{|b|} \right )=\arctan\,\left ( \frac{2}{1} \right )\approx {63}^{\circ}$$

Argumentet för z blir lika med

$$v=u+{90}^{\circ}\approx{153}^{\circ}$$

Sammantaget kan vi alltså skriva talet z i polär form som

$$z=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)\approx$$

$$\approx\sqrt{5}\cdot (\cos\,{153}^{\circ}+i\cdot \sin\,{153}^{\circ})$$

Skriv följande komplexa tal i rektangulär form.

$$z=3\cdot (\cos\,{240}^{\circ}+i\cdot \sin\,{240}^{\circ}) $$

För att kunna skriva talet z i rektangulär form behöver vi ta reda på dels realdelen och dels imaginärdelen.

Vi börjar med att identifiera det komplexa talets absolutbelopp och argument:

$$|z|=3$$

$$v={240}^{\circ} $$

Att argumentet är 240° innebär att talet ligger i den tredje kvadranten i det komplexa talplanet. Därför kan vi bilda en rätvinklig triangel i den tredje kvadranten, vars hypotenusa har längden 3 l.e. och där vinkeln u mellan den reella axelns negativa del är

$$u=v-{180}^{\circ}={240}^{\circ}-{180}^{\circ}={60}^{\circ}$$

enligt figuren nedan.

Nu kan vi beräkna längden på triangelns kateter, |a| och |b|, vilka kommer att anta positiva värden:

$$\cos\,{60}^{\circ}=\frac{|a|}{|z|}$$

$$|a|=|z|\cdot \cos\,{60}^{\circ}=3\cdot \cos\,{60}^{\circ}=1,5$$

och

$$\sin\,{60}^{\circ}=\frac{|b|}{|z|}$$

$$|b|=|z|\cdot \sin\,{60}^{\circ}=3\cdot \sin\,{60}^{\circ}\approx2,6$$

Eftersom det komplexa talet z i vårt exempel ligger i den tredje kvadranten, måste både realdelen och imaginärdelen vara negativa, så vi får

$$a=(-1)\cdot |a|=-1,5 \\b=(-1)\cdot |b|\approx-2,6$$

Därför kan vi alltså skriva det komplexa talet z i rektangulär form som

$$z\approx-1,5-2,6i $$