Skissa grafer utifrån derivata

I Matte 3-kursen gick vi igenom hur man kan skissa en funktions graf utifrån dess derivata.

I det här avsnittet ska vi bygga vidare på detta samband mellan en funktions derivata och hur dess graf ser ut i ett rätvinkligt koordinatsystem genom att vi tittar på den typ av funktioner som vi har studerat hittills i Matte 4-kursen.

Från funktion till skissad graf

Om vi har en komplicerad funktion såsom

$$f(x)={x}^{2}\cdot {e}^{-0,4x}-1$$

och vill skissa denna funktions graf i till exempel intervallet -1 ≤ x ≤ 7, så kan vi gå tillväga på olika sätt.

Vi skulle kunna välja ett stort antal värden på den oberoende variabeln och sedan sätta igång och beräkna funktionsvärdena för vart och ett av dessa variabelvärden. Detta är dock en metod som inte tar hänsyn till att vissa punkter på en kurva är mer intressanta än andra ur perspektivet hur kurvan kommer att se ut.

Därför är det en god idé att studera vilka värden funktionens derivata antar för olika värdena på den oberoende variabeln. Vi kan då se för vilka variabelvärden som derivatan är lika med noll, när funktionen är växande och när den är avtagande. Gör vi på detta sätt kan vi få en bra uppfattning om hur funktionens graf ser ut genom denna information om derivatan och funktionsvärdet i dessa väl valda punkter.

Vi prövar att använda denna metod på vår exempelfunktion ovan och börjar därför med att derivera funktionen.

Funktionen består av två termer, en term innehållande variabeln x och en term som utgörs av en konstant. Som vi såg i Matte 3-kursen, då vi gick igenom de grundläggande deriveringsreglerna, gäller att derivatan av en funktion som består av flera termer är lika med summan av termernas derivata. Därför kan vi derivera variabeltermen och konstanttermen var för sig.

Variabeltermen deriverar vi med hjälp av produktregeln, eftersom vi kan se denna term som en produkt av två funktioner, enligt följande:

$$g(x)={x}^{2}$$

$$h(x)={e}^{-0,4x}$$

För att kunna tillämpa produktregeln måste vi först derivera dessa båda funktioner:

$$g'(x)=2x$$

$$h'(x)=-0,4\cdot {e}^{-0,4x}$$

Vi deriverar den ursprungliga funktionen (konstanttermen -1 försvinner vid deriveringen):

$$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=$$

$$=2x\cdot {e}^{-0,4x}+{x}^{2}\cdot (-0,4\cdot {e}^{-0,4x})=$$

$$=2x\cdot {e}^{-0,4x}\cdot (1-0,2x)$$

Studerar vi nu med hjälp av nollproduktsmetoden för vilka variabelvärden som \(f'(x) = 0\), så hittar vi följande värden:

$$x_1=0 $$

$$x_2=5$$

De båda punkterna (0, f(0)) och (5, f(5)) kommer därför att vara intressanta punkter att studera när vi ska skissa funktionens graf. Även punkterna i intervallets ändpunkter kommer att vara intressanta, så vi kommer att vilja beräkna (-1, f(-1)) och (7, f(7)).

Beräknar vi funktionsvärdena i dessa punkter så får vi

$$f(-1)={(-1)}^{2}\cdot {e}^{-0,4\cdot (-1)}-1={e}^{0,4}-1\approx0,49$$

$$f(0)={(0)}^{2}\cdot {e}^{-0,4\cdot 0}-1=0-1=-1$$

$$f(5)={(5)}^{2}\cdot {e}^{-0,4\cdot 5}-1=25\cdot {e}^{-2}-1\approx2,38$$

$$f(7)={(7)}^{2}\cdot {e}^{-0,4\cdot 7}-1=49\cdot {e}^{-2,8}-1\approx,1,98$$

Vi ska även ta reda på derivatans tecken mellan dessa punkter, så vi studerar derivatans funktionsuttryck. Derivatan

$$f\,'(x)=2x\cdot {e}^{-0,4x}\cdot (1-0,2x) $$

består av tre faktorer som tillsammans kommer att bestämma derivatans tecken.

Den mittersta faktorn, potensuttrycket med basen e, kommer alltid att vara positiv, så denna faktor behöver vi inte tänka på i vår teckenstudie. Den första faktorn, 2x, kommer att vara negativ för negativa x-värden och positiv för positiva x-värden. Den sista faktorn, 1 - 0,2x, kommer att vara positiv då x < 5 och negativ då x > 5. Vi kan därför sammanställa följande teckentabell.

Funktionen är alltså strängt avtagande då x < 0, strängt växande då 0 < x < 5, och åter strängt avtagande då x > 5.

När vi nu har en teckentabell med information om såväl funktionsvärden som derivata i intervallet, kan vi slutligen skissa grafen i ett rätvinkligt koordinatsystem. Vårt första steg blir att markera de båda extrempunkterna vi funnit och intervallets ändpunkter. Därefter skissar vi grafen mellan dessa punkter med hjälp av vår kunskap om derivatans tecken i de olika intervallen.

Vi får då en graf som ser ut ungefär så här i det givna intervallet.