Sinuskurvor
1. Figuren visar en sinuskurva av typen y=Asin(k⋅x)+d. Bestäm perioden och konstanterna A, k och d.
2.Figuren visar en sinuskurva av typen y=Asin(k⋅x)+d. Bestäm perioden och konstanterna A, k och d.
Lösningsförslag:
Vi börjar med att ta fram A, som motsvarar kurvans amplitud. Denna får vi fram genom att ta avståndet mellan kurvans största och minsta värde dividerat med två:
A=42=2
Perioden får vi enklast fram genom att ta differensen av x-värdena mellan två toppar eller två dalar. Om vi tittar på de två topparna på den positiva x-axeln, ser vi att värdena för dem är x=250∘ och x=50∘. Perioden fås således fram genom:
perioden=250∘−50∘=200∘
k-värdet får vi fram genom följande formel:
perioden=360∘k
Om vi sätter in den tidigare funna perioden (200∘) i formeln och bryter ut k finner vi att:
k=360∘200∘=95
Med de värden vi har hittat hittils, ser vår funktion ut på följande sätt:
y=2sin9x5+d
Värdet på d får vi ut genom att sätta in en känd punkt (x,y) i funktionen ovan. Vi kan till exempel ta punkten då x=0 och y=−1. Vi får då:
−1=2sin(9⋅05)+d
Sinus för 0∘ är 0, alltså får vi:
d=−1
Funktionen är således:
y=2sin(9x5)−1
2.
På uppgift 2 gör vi på samma sätt som i 1, uträkningen ser ut som följande:
A=62=3
perioden=250∘−50∘=200∘
k=360∘200∘=95
y=3sin(9x5)+b
Vi tar punkten då x=0 och y=2 och sätter in i funktionen:
2=3sin(9⋅05)+b
b=2
Vi får alltså följande funktion:
y=3sin9x5+2
1. Figuren visar en sinuskurva av typen \(y=A\sin(k\cdot x)+d\). Bestäm perioden och konstanterna \(A\), \(k\) och \(d\).
2.Figuren visar en sinuskurva av typen \(y=A\sin(k\cdot x)+d\). Bestäm perioden och konstanterna \(A\), \(k\) och \(d\).
Lösningsförslag:
Vi börjar med att ta fram \(A\), som motsvarar kurvans amplitud. Denna får vi fram genom att ta avståndet mellan kurvans största och minsta värde dividerat med två:
$$A=\frac{4}{2}=2$$
Perioden får vi enklast fram genom att ta differensen av \(x\)-värdena mellan två toppar eller två dalar. Om vi tittar på de två topparna på den positiva \(x\)-axeln, ser vi att värdena för dem är \(x=250^\circ\) och \(x=50^\circ\). Perioden fås således fram genom:
$$\text{perioden}=250^\circ - 50^\circ=200^\circ$$
\(k\)-värdet får vi fram genom följande formel:
$$\text{perioden}=\frac{360^{\circ}}{k}$$
Om vi sätter in den tidigare funna perioden (\(200^\circ\)) i formeln och bryter ut \(k\) finner vi att:
$$k=\frac{360^{\circ}}{200^{\circ}}=\frac{9}{5}$$
Med de värden vi har hittat hittils, ser vår funktion ut på följande sätt:
$$y=2\sin \frac{9x}{5}+d$$
Värdet på \(d\) får vi ut genom att sätta in en känd punkt \((x,y)\) i funktionen ovan. Vi kan till exempel ta punkten då \(x=0\) och \(y=-1\). Vi får då:
$$-1=2\sin \left(\frac{9\cdot 0}{5}\right)+d$$
Sinus för \(0^\circ\) är 0, alltså får vi:
$$d=-1$$
Funktionen är således:
$$y=2\sin \left(\frac{9x}{5}\right)-1$$
2.
På uppgift 2 gör vi på samma sätt som i 1, uträkningen ser ut som följande:
$$A=\frac{6}{2}=3$$
$$\text{perioden}=250^{\circ}-50^{\circ}=200^{\circ}$$
$$k=\frac{360^{\circ}}{200^{\circ}}=\frac{9}{5}$$
$$y=3\sin \left(\frac{9x}{5}\right)+b$$
Vi tar punkten då \(x=0\) och \(y=2\) och sätter in i funktionen:
$$2=3\sin \left(\frac{9\cdot 0}{5}\right)+b$$
$$b=2$$
Vi får alltså följande funktion:
$$y=3\sin \frac{9x}{5}+2$$