Tangentens Ekvation
A är en punkt med koordinaterna (a,a2) som ligger på kurvan y=x2. Beräkna tangentens ekvation till kurvan som går igenom punkten A och punkten (12,−2). Rita upp kurvan y=x2 och den funna tangenten i ett koordinatsystem.
Lösningsförslag:
Vi letar efter en tangent till funktionen y=x2 som går igenom punkten A=(a,a2) och (12,−2). Eftersom vi har en andragradsfunktion vet vi att tangenten kommer att vara en rät linje, y=kx+m. Vi börjar med att hitta k-värdet till funktionen, som enklast tas fram genom att derivera y=x2:
y′=2x
Derivatan beskriver lutningen, vilket är just k-värdet. Vi behöver endast stoppa in x-värdet i punkten A i derivatan för att få fram k-värdet:
x=a⟹k=2a
För att beräkna värdet på a kan vi använda oss av formeln för riktningskoefficienten:
k=y2−y1x2−x1
Vi använder oss av de två punkterna vi har och stoppar in dem i ekvationen:
2a=a2−(−2)a−122a=a2+22a−122a=2(a2+2)2a−12a(2a−1)=2(a2+2)4a2−2a=2a2+42a2−2a−4=0a2−a−2=0
Nu kan vi använda oss av pq-formeln för att lösa ut a:
a=12±√(12)2+2a=12±√14+84a=12±√94a=12±32
Vi får alltså två lösningar på a:
a1=−1a2=2
Att vi får fram två lösningar till a betyder att det finns två tangenter som skär kurvan y=x2 och punkten (12,2), det finns alltså två punkter A=(a,a2). Dessa är:
a1=−1⟹A1=(−1,1)a2=2⟹A2=(2,4)
Tangentens funktion till kurvan som går igenom punkten A1 och A2 måste vi nu räkna ut. Vi börjar med den som går igenom A1. Vi ska hitta k-värdet och m-värdet. Vi vet från början av uträkningen att k=2a, vi får:
k=2⋅(−1)=−2
Vi stoppar in punkten A1 och k-värdet i ekvationen y=kx+m för att hitta m-värdet:
1=(−2)⋅(−1)+m⟹m=−1
Vi får således att tangentens funktion är: y=−2x−1.
För att hitta tangenten till kurvan i punkten A2 gör vi på liknande sätt:
k=2a⟹k=2⋅2=4
y=kx+m⟹4=4⋅2+m⟹m=−4
Vi får således att den andra tangentens funktion är: y=4x−4.
För att rita in tangenterna och funktionen i ett koordinatsystem är det lättast att göra en värdetabell för funktion y=x2 och att pricka in dessa punkter, samt punkterna A1, A2 och (12,2). Vi börjar med värdetabellen:
| x | y |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Nu stoppar vi in alla punkter och drar ut linjerna mellan dem. Den blåa linjen är för y=x2, de gröna är tangenterna.
\(A\) är en punkt med koordinaterna \((a,a^2)\) som ligger på kurvan \(y=x^2\). Beräkna tangentens ekvation till kurvan som går igenom punkten \(A\) och punkten \(\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Rita upp kurvan \(y=x^2\) och den funna tangenten i ett koordinatsystem.
Lösningsförslag:
Vi letar efter en tangent till funktionen \(y=x^2\) som går igenom punkten \(A=(a,a^2)\) och \(\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Eftersom vi har en andragradsfunktion vet vi att tangenten kommer att vara en rät linje, \(y=kx+m\). Vi börjar med att hitta \(k\)-värdet till funktionen, som enklast tas fram genom att derivera \(y=x^2\):
$$y'=2x$$
Derivatan beskriver lutningen, vilket är just \(k\)-värdet. Vi behöver endast stoppa in \(x\)-värdet i punkten \(A\) i derivatan för att få fram \(k\)-värdet:
$$x=a \implies k=2a$$
För att beräkna värdet på \(a\) kan vi använda oss av formeln för riktningskoefficienten:
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Vi använder oss av de två punkterna vi har och stoppar in dem i ekvationen:
$$\begin{align} 2a = & \frac{a^2-(-2)}{a-\frac{1}{2}} \\ 2a = & \frac{a^2+2}{\frac{2a-1}{2}}\\ 2a = & \frac{2(a^2+2)}{2a-1} \\ 2a(2a-1)= & 2(a^2+2) \\ 4a^2-2a = & 2a^2+4 \\ 2a^2-2a-4= & 0 \\ a^2-a-2 = & 0 \end{align}$$
Nu kan vi använda oss av pq-formeln för att lösa ut \(a\):
$$\begin{align}a & =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\end{align}$$
Vi får alltså två lösningar på \(a\):
$$\begin{align} a_1 & =-1 \\ a_2 & =2\end{align}$$
Att vi får fram två lösningar till \(a\) betyder att det finns två tangenter som skär kurvan \(y=x^2\) och punkten \(\left(\frac{1}{2},2\right)\), det finns alltså två punkter \(A=(a,a^2)\). Dessa är:
$$\begin{align} a_1 & = -1 \implies A_1=(-1,1) \\ a_2 & = 2 \implies A_2=(2,4)\end{align}$$
Tangentens funktion till kurvan som går igenom punkten \(A_1\) och \(A_2\) måste vi nu räkna ut. Vi börjar med den som går igenom \(A_1\). Vi ska hitta \(k\)-värdet och \(m\)-värdet. Vi vet från början av uträkningen att \(k=2a\), vi får:
$$k=2\cdot (-1)=-2$$
Vi stoppar in punkten \(A_1\) och \(k\)-värdet i ekvationen \(y=kx+m\) för att hitta \(m\)-värdet:
$$1=(-2)\cdot(-1)+m \implies m=-1$$
Vi får således att tangentens funktion är: \(y=-2x-1\).
För att hitta tangenten till kurvan i punkten \(A_2\) gör vi på liknande sätt:
$$k=2a \implies k=2\cdot2=4$$
$$y=kx+m \implies 4=4\cdot2+m \implies m=-4$$
Vi får således att den andra tangentens funktion är: \(y=4x-4\).
För att rita in tangenterna och funktionen i ett koordinatsystem är det lättast att göra en värdetabell för funktion \(y=x^2\) och att pricka in dessa punkter, samt punkterna \(A_1\), \(A_2\) och \(\left(\frac{1}{2},2\right)\). Vi börjar med värdetabellen:
| x | y |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Nu stoppar vi in alla punkter och drar ut linjerna mellan dem. Den blåa linjen är för \(y=x^2\), de gröna är tangenterna.