Bestäm polynomen
Ett polynom av första graden, f(x) och ett polynom av andra graden, g(x) uppfyller följande villkor:
ddx(f(x)⋅g(x))=3x2−1f(x)+g(x)x=2xf(0)<0
Bestäm polynomen f(x) och g(x).
Lösningsförslag:
f(x) är ett polynom av första graden, vilket innebär att det kan skrivas på formen:
f(x)=Ax+B
f(0) < 0 innebär att
f(0)=A⋅0+B=B<0
Vi kan uttrycka g(x) i f(x) genom det andra sambandet:
f(x)+g(x)x=2x{multipliceramedx}xf(x)+g(x)=2x2g(x)=2x2−xf(x)
Vi kan nu räkna ut produkten f(x) ∙ g(x):
f(x)⋅g(x)=f(x)⋅(2x2−xf(x))={f(x)=Ax+B}(Ax+B)⋅(2x2−x(Ax+B))=(Ax+B)⋅(2x2−Ax2−B2x)=2Ax3−A2x3−ABx2+2Bx2−ABx2−B2x=x3⋅(2A−A2)+x2⋅(−2AB+2B)+x⋅(−B2)
Vi kan nu beräkna derivatan:
ddx(f(x)⋅g(x))=ddx(x3⋅(2A−A2)+x2⋅(−2AB+2B)+x⋅(−B2))=3x2⋅(2A−A2)+2x⋅(−2AB+2B)−B2=3x2−1
Identifiering av koefficienter ger:
2A−A2=1−2AB+2B=0−B2=−1B2=1B=−1,(B<0)−2A⋅(−1)+2⋅(−1)=02A−2=0A=1{kontrollera}2A−A2=2⋅1−12=1
Detta ger polynomet f(x):
f(x)=Ax+B=1⋅x+(−1)=x−1
Slutligen kan vi bestämma g(x):
g(x)=2x2−xf(x)=2x2−x⋅(x−1)=2x2−(x2−x)==x2+x
Vi erhåller alltså följande polynom:
f(x)=x−1g(x)=x2+x
Ett polynom av första graden, f(x) och ett polynom av andra graden, g(x) uppfyller följande villkor:
$$\\\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=3x^{2}-1\\\\f(x)+\frac{g(x)}{x}=2x\\\\f(0)<0\\$$
Bestäm polynomen f(x) och g(x).
Lösningsförslag:
f(x) är ett polynom av första graden, vilket innebär att det kan skrivas på formen:
$$\\f(x)=Ax+B\\$$
f(0) < 0 innebär att
$$\\f(0)=A\cdot 0+B=B<0\\$$
Vi kan uttrycka g(x) i f(x) genom det andra sambandet:
$$\\f(x)+\frac{g(x)}{x}=2x\\\\\left \{ multiplicera\;med\;x \right \}\\\\xf(x)+g(x)=2x^{2}\\\\g(x)=2x^{2}-xf(x)\\$$
Vi kan nu räkna ut produkten f(x) ∙ g(x):
$$\\f(x)\cdot g(x)=f(x)\cdot (2x^{2}-xf(x))=\\\\\left \{ f(x)=Ax+B \right \}\\\\(Ax+B)\cdot (2x^{2}-x(Ax+B))=\\\\(Ax+B)\cdot (2x^{2}-Ax^{2}-B^{2}x)=\\\\2Ax^{3}-A^{2}x^{3}-ABx^{2}+2Bx^{2}-ABx^{2}-B^{2}x=\\\\x^{3}\cdot (2A-A^{2})+x^{2}\cdot (-2AB+2B)+x\cdot (-B^{2})\\$$
Vi kan nu beräkna derivatan:
$$\\\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\\\\\frac{d}{dx}(x^{3}\cdot (2A-A^{2})+x^{2}\cdot (-2AB+2B)+x\cdot (-B^{2}))=\\\\3x^{2}\cdot (2A-A^{2})+2x\cdot (-2AB+2B)-B^{2}=3x^{2}-1\\$$
Identifiering av koefficienter ger:
$$\\2A-A^{2}=1\\-2AB+2B=0\\-B^{2}=-1\\B^{2}=1\\B=-1,\;(B<0)\\-2A\cdot (-1)+2\cdot (-1)=0\\2A-2=0\\A=1\\ \left \{ kontrollera \right \}\\2A-A^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1\\$$
Detta ger polynomet f(x):
$$\\f(x)=Ax+B=1\cdot x+(-1)=x-1\\$$
Slutligen kan vi bestämma g(x):
$$\\g(x)=2x^{2}-xf(x)=2x^{2}-x\cdot (x-1)=2x^{2}-(x^{2}-x)=\\=x^{2}+x\\$$
Vi erhåller alltså följande polynom:
$$\\f(x)=x-1\\\\g(x)=x^{2}+x\\$$