Bestäm polynomen

Ett polynom av första graden, f(x) och ett polynom av andra graden, g(x) uppfyller följande villkor:

$$\\\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=3x^{2}-1\\\\f(x)+\frac{g(x)}{x}=2x\\\\f(0)<0\\$$

Bestäm polynomen f(x) och g(x).

Lösningsförslag:

f(x) är ett polynom av första graden, vilket innebär att det kan skrivas på formen:

$$\\f(x)=Ax+B\\$$

f(0) < 0 innebär att

$$\\f(0)=A\cdot 0+B=B<0\\$$

Vi kan uttrycka g(x) i f(x) genom det andra sambandet:

$$\\f(x)+\frac{g(x)}{x}=2x\\\\\left \{ multiplicera\;med\;x \right \}\\\\xf(x)+g(x)=2x^{2}\\\\g(x)=2x^{2}-xf(x)\\$$

Vi kan nu räkna ut produkten f(x) ∙ g(x):

$$\\f(x)\cdot g(x)=f(x)\cdot (2x^{2}-xf(x))=\\\\\left \{ f(x)=Ax+B \right \}\\\\(Ax+B)\cdot (2x^{2}-x(Ax+B))=\\\\(Ax+B)\cdot (2x^{2}-Ax^{2}-B^{2}x)=\\\\2Ax^{3}-A^{2}x^{3}-ABx^{2}+2Bx^{2}-ABx^{2}-B^{2}x=\\\\x^{3}\cdot (2A-A^{2})+x^{2}\cdot (-2AB+2B)+x\cdot (-B^{2})\\$$

Vi kan nu beräkna derivatan:

$$\\\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\\\\\frac{d}{dx}(x^{3}\cdot (2A-A^{2})+x^{2}\cdot (-2AB+2B)+x\cdot (-B^{2}))=\\\\3x^{2}\cdot (2A-A^{2})+2x\cdot (-2AB+2B)-B^{2}=3x^{2}-1\\$$

Identifiering av koefficienter ger:

$$\\2A-A^{2}=1\\-2AB+2B=0\\-B^{2}=-1\\B^{2}=1\\B=-1,\;(B<0)\\-2A\cdot (-1)+2\cdot (-1)=0\\2A-2=0\\A=1\\ \left \{ kontrollera \right \}\\2A-A^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1\\$$

Detta ger polynomet f(x):

$$\\f(x)=Ax+B=1\cdot x+(-1)=x-1\\$$

Slutligen kan vi bestämma g(x):

$$\\g(x)=2x^{2}-xf(x)=2x^{2}-x\cdot (x-1)=2x^{2}-(x^{2}-x)=\\=x^{2}+x\\$$

Vi erhåller alltså följande polynom:

$$\\f(x)=x-1\\\\g(x)=x^{2}+x\\$$