Integraler
1. Bilden ovan visar kurvan y=−x3+x2+2x. Bestäm var kurvan skär x-axeln. Bestäm även arean på det gröna området som avgränsas av kurvan och x-axeln.
2. Bilden ovan visar en kurva f(x), som har den primitiva funktionen F(x)=3⋅ln(x+1)−x. Bestäm först kurvan f(x) och sedan var den kurvan skär x-axeln. Bestäm även arean på det gröna området som avgränsas av kurvan och x-axeln.
Lösningsförslag:
1.
För att bestämma var kurvan skär x-axeln sätter vi y=0 och löser den ekvationen:
y=−x3+x2+2x=0
Detta ger:
−x3+x2+2x=0−x(x2−x−2)=0
Här får vi fallindela och lösa två ekvationer:
Fall 1:
−x=0⟹x=0
Här får vi första lösningen på var kurvan skär x-axeln, nämligen x1=0.
Fall 2:
x2−x−2=0
Här använder vi pq-formeln:
x=12±√(12)2+2x=12±√14+84x=12±√94x=12±32
x2=2x3=−1
Vi har alltså hittat tre punkter då kurvan skär x-axeln, vilka är x1=0, x2=2 och x3=−1.
Nu ska vi räkna ut den grönfärgade arean. Arean beräknas med hjälp av integraler:
A=∫20−x3+x2+2x=[−x44+x33+x2]20=(−244+233+22)−(−044+033+02)=83
Det gröna området har alltså 83 area enheter.
2.
För att bestämma kurvan måste vi först derivera den primitiva funktionen F(x):
F(x)=3⋅ln(x+1)−xF′(x)=f(x)=3x+1−1
Vi ska nu hitta var kurvan skär x-axeln. För att göra det sätter vi f(x)=0:
3x+1−1=03x+1=13=x+1x=2
Arean beräknas med hjälp av integraler:
A=∫20f(x)dx=F(2)−F(0)=(3⋅ln(2+1)−2)−(3⋅ln(0+1)−0)=3⋅ln(3)−2
Det gröna området har alltså 3⋅ln(3)−2 area enheter.
1. Bilden ovan visar kurvan \(y=-x^3+x^2+2x\). Bestäm var kurvan skär \(x\)-axeln. Bestäm även arean på det gröna området som avgränsas av kurvan och \(x\)-axeln.
2. Bilden ovan visar en kurva \(f(x)\), som har den primitiva funktionen \(F(x)=3\cdot \ln(x+1)-x\). Bestäm först kurvan \(f(x)\) och sedan var den kurvan skär \(x\)-axeln. Bestäm även arean på det gröna området som avgränsas av kurvan och \(x\)-axeln.
Lösningsförslag:
1.
För att bestämma var kurvan skär \(x\)-axeln sätter vi \(y=0\) och löser den ekvationen:
$$y=-x^3+x^2+2x=0$$
Detta ger:
$$\begin{align}-x^3+x^2+2x & = 0 \\ -x(x^2-x-2) & = 0\end{align}$$
Här får vi fallindela och lösa två ekvationer:
Fall 1:
$$-x=0 \implies x=0$$
Här får vi första lösningen på var kurvan skär \(x\)-axeln, nämligen \(x_1=0\).
Fall 2:
$$x^2-x-2=0$$
Här använder vi pq-formeln:
$$\begin{align}x & =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2} \\ x & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}} \\ x & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}} \\ x & = \frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\end{align}$$
$$\begin{align} x_2 & = 2\\ x_3 & = -1\end{align}$$
Vi har alltså hittat tre punkter då kurvan skär \(x\)-axeln, vilka är \(x_1=0\), \(x_2=2\) och \(x_3=-1\).
Nu ska vi räkna ut den grönfärgade arean. Arean beräknas med hjälp av integraler:
$$\begin{align} A & =\int_{0}^{2} -x^3+x^2+2x \\ & = \left[ -\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{0}^{2} \\ & = \left( -\frac{2^4}{4}+\frac{2^3}{3}+2^2 \right)- \left(-\frac{0^4}{4}+\frac{0^3}{3}+0^2 \right) \\ & = \frac{8}{3}\end{align}$$
Det gröna området har alltså \( \frac{8}{3} \) area enheter.
2.
För att bestämma kurvan måste vi först derivera den primitiva funktionen \(F(x)\):
$$\begin{align} F(x) & = 3\cdot \ln(x+1)-x \\ F'(x) & = f(x) = \frac{3}{x+1}-1\end{align}$$
Vi ska nu hitta var kurvan skär \(x\)-axeln. För att göra det sätter vi \(f(x)=0\):
$$\begin{align} \frac{3}{x+1}-1 & = 0 \\ \frac{3}{x+1} & = 1 \\ 3 & = x+1 \\ x & = 2 \end{align}$$
Arean beräknas med hjälp av integraler:
$$\begin{align} A & = \int_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = F(2)-F(0) \\ & = ( 3\cdot \ln(2+1)-2 ) - ( 3\cdot \ln(0+1)-0 ) \\ & = 3\cdot \ln(3)-2 \end{align}$$
Det gröna området har alltså \( 3\cdot\ln(3)-2 \) area enheter.