Radianer

I de tidigare kurserna har vi uteslutande angett storleken på vinklar i grader. Dock finns det andra sätt att ange vinklars storlek och det mest använda alternativet till grader är radianer, en enhet som vi ska bekanta oss med i detta avsnitt.

När vi har haft med vinklar att göra har vi vant oss vid att ett helt varv motsvarar en vinkelstorlek på 360°, att ett kvarts varv motsvarar 90°, och så vidare. Att ett helt varv motsvarar just 360° kan dock tyckas ganska godtyckligt.

Att istället ange vinkelstorlek i radianer är ett sätt att uppnå en närmare koppling mellan en vinkels storlek och cirkelns geometriska egenskaper, närmare bestämt dess omkrets. Därför är det vanligt i naturvetenskapliga och tekniska sammanhang att ange vinklar i radianer, då det ofta leder till enklare formler än om vinklarna anges i grader.

Från våra tidigare studier av geometri vet vi att en cirkels omkrets skrivs allmänt enligt formeln

$$Omkrets=2\pi r\,längdenheter$$

där r betecknar cirkelns radie.

Om vi utgår från enhetscirkeln, har den en radie med längden 1 längdenhet, vilket innebär att dess omkrets är

$$Omkrets\,(enhetscirkeln)=2\pi\,längdenheter$$

Detta är alltså längden på enhetscirkelns omkrets. För en viss vinkel v kommer vi i enhetscirkeln att få en cirkelbåge av en viss längd; längden på denna cirkelbåge utgör vinkelns storlek mätt i radianer, som anges i rad.

Ett helt varv motsvarar 2π radianer, vilket alltså är detsamma som 360°. Ett halvt varv är π radianer och ett kvarts varv är π/2 radianer.

Allmänt gäller

$$1\,rad=\frac{{360}^{\circ}}{2\pi}=\frac{{180}^{\circ}}{\pi}\approx{57,3}^{\circ}$$

$${1}^{\circ}=\frac{2\pi}{360}\,rad=\frac{\pi}{180}\,rad\approx0,0175\,rad$$

vilket innebär att det går ungefär 6,3 radianer (exakt: 2π radianer) på ett helt varv.

I tabellen nedan har vi angett hur man omvandlar en vinkels storlek mellan grader och radianer för några vanligt förekommande vinkelstorlekar.

Har vi en känd vinkel som är angiven i grader (v_g), då kan vi omvandla vinkelns storlek till enheten radianer (v_r) genom följande formel:

$$v_r=v_g\cdot \frac{\pi}{{180}^{\circ}}$$

På motsvarande sätt kan vi omvandla vinklar angivna i radianer till grader genom följande formel:

$$v_g=v_r\cdot \frac{{180}^{\circ}}{\pi} $$

Nedan har vi en interaktiv enhetscirkel från GeoGebra med grader markerade i cirkeln och radianer i tabellen, testa att rulla ut cirkeln med reglaget för att se hur olika grader motsvarar radianer. Du kan även spela upp animationen genom att klicka på play nere i vänstra hörnet.