Läser in [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln

Punkten P har x-koordinaten 12, vilket betyder att cos(v)=12. Bestäm alla lösningar till ekvationen cos(v)=12 och ange sedan den lösning för v som visas i figuren.

 

Lösningsförslag:

Vi ska först hitta alla lösningar till cos(v)=12. För att lösa ekvationen gör vi följande:

arccos(cos(v))=arccos(12)v=arccos(12)v=120

Men detta ger bara en av lösningarna till ekvationen i intevallet 0v360. Den andra fås genom:

v2=360v1

Varför detta samband gäller kan du läsa om i lösning av trigonometriska funktioner.

Eftersom cos(v) har perioden 360 får vi ut alla lösningar på ekvationen genom:

cos(v)=120+n360cos(v)=240+n360

där n0 och är ett positivt heltal.

Lösning för v som visas i figuren är alltså antingen 120 eller 240. Vi vet att vinkeln 120 ligger i andra kvadranten och att vinkeln 240 ligger i tredje kvadranten. Vi ser på bilden att punkten P ligger i tredje kvadranten. Det betyder att lösning för v som visas i figuren är 240.

Har du en fråga du vill ställa om Enhetscirkeln? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se

Enhetscirkeln

Punkten \(P\) har \(x\)-koordinaten \(-\frac{1}{2}\), vilket betyder att \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\). Bestäm alla lösningar till ekvationen \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\) och ange sedan den lösning för \(v\) som visas i figuren.

 

Lösningsförslag:

Vi ska först hitta alla lösningar till \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\). För att lösa ekvationen gör vi följande:

$$\begin{align}\arccos(\cos(v)) & =\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \\ v & = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \\ v & = 120^\circ \end{align}$$

Men detta ger bara en av lösningarna till ekvationen i intevallet \(0^\circ \leq v \leq 360^\circ\). Den andra fås genom:

$$v_2=360^\circ-v_1$$

Varför detta samband gäller kan du läsa om i lösning av trigonometriska funktioner.

Eftersom \(\cos(v)\) har perioden \(360^\circ\) får vi ut alla lösningar på ekvationen genom:

$$\begin{align}\cos (v) & = 120^\circ +n\cdot 360^\circ\\ \cos (v) & = 240^\circ +n\cdot 360^\circ \end{align}$$

där \(n\geq0\) och är ett positivt heltal.

Lösning för \(v\) som visas i figuren är alltså antingen \(120^\circ\) eller \(240^\circ\). Vi vet att vinkeln \(120^\circ\) ligger i andra kvadranten och att vinkeln \(240^\circ\) ligger i tredje kvadranten. Vi ser på bilden att punkten \(P\) ligger i tredje kvadranten. Det betyder att lösning för \(v\) som visas i figuren är \(240^\circ\).

Har du en fråga du vill ställa om Enhetscirkeln? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se