Utspark med fotboll

Med vilken hastighet (km/h) ska en liggande fotboll sparkas ut för att nå 10 meter längre än mittlinjen? Hur högt når bollen som högst? Bollen ligger i ursprungsläget på linjen 5,5 meter in från kortlinjen. Planens längd är 105 meter. Bollen sparkas ut i en vinkel på 35° från marken.

Ekvationerna för läget i x-led (längd) respektive y-led (höjd) är då följande (vi bortser från luftmotståndet):

$$x(t)=x_{0}+v_{x}t$$

$$y(t)=y_{0}+v_{y}t-\frac{gt^{2}}{2}$$

där (x₀, y₀) är bollens startpunkt, v_x är hastigheten i längdled och v_y är hastigheten i höjdled och g = 9,82 m/s² är tyngdaccelerationen.

Lösningsförslag:

Från uppgiften vet vi att bollens startpunkt är: (x₀, y₀) = (5.5,0).

Vi ritar upp en bild för att tydligare åskådliggöra problemet, se nedan. Vi kallar motstående katetar för v_y,närliggande för v_x och hypotenusan kallar vi för v.

Vi får följande samband mellan hastigheten v och hastigheten i x-led respektive y-led, där θ = 35° (vinkeln som bollen sparkas ut i).

$$\begin{align} \cos(\theta) & = \frac{v_{x}}{v} \implies v_{x}=v \cdot \cos(\theta) \\ \sin(\theta) & = \frac{v_{y}}{v} \implies v_{y}=v\cdot \sin(\theta) \end{align}$$

Vi kallar tidpunkten då fotbollen når marken för t₁ och koordinaten för (x₁, y₁).

$$x_1=\frac{105}{2}+10=62,5$$

$$\begin{align} x_{1} & = x(t_{1})=x_{0}+v_{x}t_{1} \\ & = 5,5+v\cdot \cos(35) \cdot t_{1}=62,5 \end{align}$$

För y-koordinaten får vi följande samband:

$$y_1=0$$

$$\begin{align} y_{1} & =y(t_{1})=y_{0}+v_{y}t_{1}-\frac{gt^2_1}{2} \\ & =0+v\cdot \sin(35) \cdot t_{1}-\frac{9,82t^{2}_{1}}{2}=0 \end{align}$$

Lös ut v∙t₁ ur ekvationen för x₁:

$$v\cdot \cos(35) \cdot t_{1}=62,5-5,5$$

$$v\cdot t_{1}=\frac{57}{\cos(35)}$$

Vi sätter nu in det uttrycket i ekvationen för y₁:

$$\frac{57\cdot \sin(35)}{\cos(35)}-4,91^{2}_{1}=0$$

$$t^{2}_{1}=\frac{57\cdot \sin(35)}{4,91\cdot \cos(35)}$$

$$t_{1}=\sqrt{\frac{57\cdot \sin(35)}{4,91\cdot \cos(35)}}=2,851084$$

Vi kan nu räkna ut v:

$$v=\frac{57}{t_{1}\cdot \cos(35)}=\frac{57}{2,851084\cdot \cos(35)}=24,4062$$

24,4062 m/s = 24,4062•10^-3 km/(h/3600)=24,4062 • 3,6 km/h = 87,8623 km/h

Vi ska nu räkna ut bollens högsta punkt.

Vi vet att när y(t) har ett maximum så är derivatan med avseende på t lika med 0.

$$y'(t)=\frac{d}{dt}\left ( v\cdot \sin(35)\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \right)=v\cdot \sin(35)-9,82t=0$$

$$t=\frac{v\cdot \sin(35)}{9,82}=\frac{24,2062\cdot \sin(35)}{9,82}=1,425542$$

Vi kan nu räkna ut på vilken höjd bollen befinner sig på vid den tidpunkten:

$$\begin{align} y(1,425542) & =v\cdot \sin(35)\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \\ & =24,4062\cdot \sin(35) \cdot t-\frac{9,82\cdot (1,425542)^{2}}{2} \\ & =9,97795\approx 10m\end{align}$$

Bollen sparkas iväg med hastigheten 88 km/h och når maximalt höjden 10 m.