Optimering
Låt f(x)=(2x2+5x+4)e−x. Bestäm alla lokala extremvärden till funktionen.
Lösningsförslag:
Vi börjar med att räkna ut lokala extremvärden. Ett extremvärde är det värde som funktionen antar i en extrempunkt, alltså y-värdet i extrempunkten. För att få fram detta värde behöver vi först derivera funktionen f(x)=(2x2+5x+4)e−x. Vi använder oss av produktregeln och förenklar sedan derivatan:
f′(x)=(4x+5)e−x+(2x2+5x+4)(−e−x)=e−x(4x+5−(2x2+5x+4))=e−x(4x+5−2x2−5x−4)=e−x(−2x2−x+1)=−2e−x(x2+12x−12)
Vi sätter f′(x)=0 för att få fram x-värdena i extrempunkterna:
−2e−x(x2+12x−12)=0
Här räcker det att lösa:
x2+12x−12=0
eftersom −2e−x aldrig kan bli noll. Vi använder pq-formeln:
x=−14±√(14)2+12=−14±√116+12=−14±√116+816=−14±√916=−14±34
Vi får alltså två lösningar:
x1=12x2=−1
Dessa värden måste vi stoppa in i funktionen för att få fram extremvärdena.
f(x1)=f(12)=(2(12)2+5(12)+4)e−12=7e−12f(x2)=f(−1)=(2(−1)2+5(−1)+4)e−(−1)=e
Vi har alltså hittat två lokala extremvärden 7e−12 och e.
Låt \(f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}\). Bestäm alla lokala extremvärden till funktionen.
Lösningsförslag:
Vi börjar med att räkna ut lokala extremvärden. Ett extremvärde är det värde som funktionen antar i en extrempunkt, alltså \(y\)-värdet i extrempunkten. För att få fram detta värde behöver vi först derivera funktionen \(f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}\). Vi använder oss av produktregeln och förenklar sedan derivatan:
$$\begin{align} f'(x)= & (4x+5)e^{-x}+(2x^2+5x+4)(-e^{-x}) \\ = & e^{-x}(4x+5-(2x^2+5x+4)) \\ = & e^{-x}(4x+5-2x^2-5x-4) \\ = & e^{-x}(-2x^2-x+1) \\ = & -2e^{-x}\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right) \end{align}$$
Vi sätter \(f'(x)=0\) för att få fram \(x\)-värdena i extrempunkterna:
$$-2e^{-x}\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)=0$$
Här räcker det att lösa:
$$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$$
eftersom \(-2e^{-x}\) aldrig kan bli noll. Vi använder pq-formeln:
$$\begin{align}x = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}\end{align}$$
Vi får alltså två lösningar:
$$\begin{align} x_1 & = \frac{1}{2}\\ x_2 & = -1 \end{align}$$
Dessa värden måste vi stoppa in i funktionen för att få fram extremvärdena.
$$\begin{align}f(x_1) = & f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^2+5\left(\frac{1}{2}\right)+4\right)e^{-\frac{1}{2}} = 7e^{-\frac{1}{2}} \\ f(x_2) = & f(-1) = (2(-1)^2+5(-1)+4)e^{-(-1)} = e \end{align}$$
Vi har alltså hittat två lokala extremvärden \(7e^{-\frac{1}{2}}\) och \(e\).