Derivatan av y = tan^(-1) x
Beräkna derivatan y'(x) då
y(x)=tan−1x
Lösningsförslag:
y=tan−1x⇒tany=x
Derivera med avseende på x:
ddxtany=ddxxddxtany=1
Genom att sätta u = tan y kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:
ddxu(y(x))=1u′(y(x))⋅y′(x)=1
u′(y)=ddyu=ddytany=ddysinycosy{kvotregeln}cosy⋅cosy−(−siny)⋅siny(cosy)2=(cosy)2+(siny)2(cosy)2=1+(siny)2(cosy)2=1+(sinycosy)21+(tany)21+tan2y
Vi sätter nu in detta samband i det tidigare uttrycket:
(1+tan2y)⋅y′(x)=1y′(x)=11+tan2y{tany=x}y′(x)=11+x2
Beräkna derivatan y'(x) då
$$\\y(x) = tan^{-1}\,x\\$$
Lösningsförslag:
$$\\y=tan^{-1}\,x\Rightarrow tan\,y=x\\$$
Derivera med avseende på x:
$$\\\frac{d}{dx}tan\,y=\frac{d}{dx}x\\\\\frac{d}{dx}tan\,y=1\\$$
Genom att sätta u = tan y kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:
$$\\\frac{d}{dx}u(y(x))=1\\\\u'(y(x))\cdot y'(x)=1\\$$
$$\\u'(y)=\frac{d}{dy}u=\frac{d}{dy}tan\,y=\frac{d}{dy}\frac{sin\,y}{cos\,y}\\\\\left \{ kvotregeln \right \}\\\\\frac{cos\,y\cdot cos\,y-(-sin\,y)\cdot sin\,y}{(cos\,y)^{2}}=\\\\\frac{(cos\,y)^{2}+(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\frac{(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\left ( \frac{sin\,y}{cos\,y} \right )^{2}\\\\1+(tan\,y)^{2}\\\\1+tan^{2}\,y\\$$
Vi sätter nu in detta samband i det tidigare uttrycket:
$$\\(1+tan^{2}\,y)\cdot y'(x)=1\\\\y'(x)=\frac{1}{1+tan^{2}\,y}\\\\\left \{ tan\,y=x \right \}\\\\y'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\\$$