Räkna med komplexa tal
I det förra avsnittet definierade vi komplexa tal och gick igenom hur de kan skrivas i rektangulär form.
I det här avsnittet ska vi gå igenom hur man räknar med komplexa tal vad gäller de fyra räknesätten, när talen är skrivna i rektangulär form.
På de flesta sätt fungerar det likadant när vi räknar med komplexa tal som när vi räknar med reella tal. Vi ska nu gå igenom hur vi tillämpar de fyra räknesätten på två komplexa tal z1 och z2 enligt följande:
$${z}_{1}=3+2i$$
och
$${z}_{2}=4+i$$
Addition av komplexa tal
När vi ska addera de båda talen z1 och z2, då adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Det ger oss följande:
$${z}_{1}+{z}_{2}=(3+2i)+(4+i)=$$
$$=3+2i+4+i=$$
$$=7+3i$$
Generellt gäller att om vi adderar två komplexa tal z1 = a + bi och z2 = c + di, så får vi
$${z}_{1}+{z}_{2}=(a+bi)+(c+di)=$$
$$=a+bi+c+di=$$
$$=(a+c)+(b+d)i$$
Subtraktion av komplexa tal
När vi ska subtrahera de båda talen z1 och z2, då subtraherar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Det ger oss
$${z}_{1}-{z}_{2}=(3+2i)-(4+i)=$$
$$=3+2i-4-i=$$
$$=-1+i$$
Generellt gäller att om vi subtraherar två komplexa tal z1 = a + bi och z2 = c + di, så får vi
$${z}_{1}-{z}_{2}=(a+bi)-(c+di)=$$
$$=a+bi-c-di=$$
$$=(a-c)+(b-d)i$$
Multiplikation av komplexa tal
När vi ska multiplicera de båda talen z1 och z2, då utför vi beräkningen på samma sätt som om vi skulle multiplicera två binom. Vi använder oss också av definitionen av den imaginära enheten för att skriva produkten så enkelt som möjligt.
Multiplicerar vi z1 och z2 så får vi följande produkt:
$$ {z}_{1}\cdot {z}_{2}=(3+2i)\cdot (4+i)=$$
$$=3\cdot 4+3\cdot i+2i\cdot 4+2i\cdot i=$$
$$=12+3i+8i+2{i}^{2}=$$
$$=12+11i+2\cdot (-1)=$$
$$=10+11i$$
Generellt gäller att om vi multiplicerar två komplexa tal z1 = a + bi och z2 = c + di, så får vi
$${z}_{1}\cdot {z}_{2}=(a+bi)\cdot (c+di)=$$
$$=a\cdot c+a\cdot di+bi\cdot c+bi\cdot di=$$
$$=ac+(ad+bc)\cdot i+bd\cdot {i}^{2}=$$
$$=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
Division av komplexa tal
När vi ska dividera de båda talen z1 och z2, då skriver vi först om uttrycket, så att divisionen sker med ett reellt tal i nämnaren. För att nämnaren ska bli ett reellt tal förlänger vi hela talet med nämnarens konjugat.
Konjugatet till ett komplext tal
$$z=a+bi$$
är
$$\overline{z}=a-bi$$
Multiplicerar vi ett tal z med dess konjugat, då får vi
$$z\cdot \overline{z}=(a+bi)\cdot (a-bi)=$$
$$=a\cdot a+a\cdot (-bi)+bi\cdot a+bi\cdot (-bi)=$$
$$={a}^{2}-{b}^2\cdot {i}^{2}=$$
$$={a}^{2}-{b}^2\cdot (-1)=$$
$$={a}^{2}+{b}^2$$
Eftersom såväl a som b är reella tal, blir
$$z\cdot \overline{z}$$
ett reellt tal.
Eftersom vi skulle dividera z1 med z2 kan vi därför förlänga kvoten
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$$
med nämnarens konjugat, så att vi får
$$\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}$$
Med våra givna komplexa tal, z1 = 3 + 2i och z2 = 4 + i, får vi följande kvot:
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}=\frac{(3+2i)\cdot (4-i)}{(4+i)\cdot (4-i)}=$$
$$=\frac{12-3i+8i-2{i}^{2}}{{4}^{2}+{1}^{2}}=\frac{12+5i+2}{16+1}=$$
$$=\frac{14+5i}{17}=\frac{14}{17}+\frac{5}{17}i$$
Generellt gäller att om vi dividerar två komplexa tal z1 = a + bi och z2 = c + di, så får vi
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}=\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}=$$
$$=\frac{a\cdot c+a\cdot (-di)+bi\cdot c+bi\cdot (-di)}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{ac+(bc-ad)\cdot i+bd}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)}{{c}^{2}+{d}^{2}}+\frac{(bc-ad)}{{c}^{2}+{d}^{2}}i$$
Addition och subtraktion av komplexa tal.
Multiplikation och division av komplexa tal
- Imaginära enheten i: för att kunna hitta lösningar till negativa kvadratrötter infördes imaginära enheten \(i\) som har följande egenskaper:
$$i^{2}=-1$$
Som vi använder så här
$$i=\sqrt{-1}$$ - Komplext tal: ett tal som består av både en reell del och en imaginär del, rent allmänt betecknas det \(z = a+bi\)
- Rektangulär form: Att skriva komplex tal på formen \(z= a+bi\) är på just rektangulär form.
- Addition av komplexa tal: om vi adderar två komplexa tal \(z_1 = a + bi\) och \(z_2 = c + di\), så får vi
$${z}_{1}+{z}_{2}=(a+bi)+(c+di)=$$
$$=a+bi+c+di=$$
$$=(a+c)+(b+d)i$$
- Subtraktion av komplexa tal:om vi subtraherar två komplexa tal \(z_1 = a + bi\) och \(z_2 = c + di\), så får vi
$${z}_{1}-{z}_{2}=(a+bi)-(c+di)=$$
$$=a+bi-c-di=$$
$$=(a-c)+(b-d)i$$
- Multiplikation av komplexa tal: om vi multiplicerar två komplexa tal \(z_1 = a + bi\) och \(z_2 = c + di\), så får vi
$${z}_{1}\cdot {z}_{2}=(a+bi)\cdot (c+di)=$$
$$=a\cdot c+a\cdot di+bi\cdot c+bi\cdot di=$$
$$=ac+(ad+bc)\cdot i+bd\cdot {i}^{2}=$$
$$=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
- Division av komplexa tal: om vi dividerar två komplexa tal \(z_1 = a + bi\) och \(z_2 = c + di\), så förlänger vi med konjugatet till nämnaren \(\overline{{z}_{2}}\) och då får vi
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}=\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}=$$
$$=\frac{a\cdot c+a\cdot (-di)+bi\cdot c+bi\cdot (-di)}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{ac+(bc-ad)\cdot i+bd}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)}{{c}^{2}+{d}^{2}}+\frac{(bc-ad)}{{c}^{2}+{d}^{2}}i$$