Maximera triangeln

En likbent triangel (två sidor är lika långa) har omkretsen O. Hur stor ska vinkeln (uttryckt i grader) mellan de två lika långa sidorna vara för att triangelns area ska bli så stor som möjligt?

Lösningsförslag:

Vi kallar sidorna som är lika långa för x och den tredje sidan för y. Den sökta toppvinkeln kallar vi för v.

Summan av sidorna är lika med omkretsen, vilket ger följande samband:

$$O=x+x+y=2x+y$$

Vi löser ut y i ekvationen och får:

$$y=O-2x$$

Arean, A, på en triangel räknas ut med följande formel:

$$A=\frac{b\cdot h}{2}$$

där b är basen och h är höjden.

Vi kan nu räkna ut höjden med hjälp av Pythagoras sats. Det görs genom att bilda två rätvinkliga trianglar i figuren ovan. De två trianglarna bildas om vi drar ett streck från toppen av triangeln ner till mitten av bas-sidan, de nya trianglarna har då sidorna x, h och y/2. Vi kan därmed ställa upp följande ekvation och räkna ut höjden (h):

$$h^{2}+ \left( \frac{y}{2} \right)^{2}=x^{2}$$

Vi kan här ersätta y med O-2x, som vi kom fram till tidigare:

$$\begin{align} & h^{2}+ \left( \frac{O-2x}{2} \right)^{2}=x^{2} \\ & h^{2}+ \left(\frac{0}{2}-x\right)^{2}=x^{2} \\ & h^{2}+\frac{O^{2}}{2}-2\cdot \frac{O^{2}}{2}\cdot x+x^{2}=x^{2} \\ & h^{2}=Ox-\frac{O^{2}}{4} \\ & h=\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}} \end{align}$$

Tänk på att h>0, då det är längden vi letar efter. Detta hjälper oss att skriva en funktion som beskriver arean (när vi ersätter h mot ovanstående och basen med y):

$$\begin{align} A & = \frac{y\cdot \sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}{2} \\ A & = \frac{1}{2}\cdot \left (\frac{O}{2}-x \right )\cdot \sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}} \\ A & = \frac{1}{2}\cdot\left ( \frac{O}{2}-x \right )\cdot \left (Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}} \end{align}$$

Vi söker nu det x (längden på de sidor som är lika långa) som maximerar A. Längden finner vi genom att sätta derivatan av A (med avseende på x) lika med 0. För att derivera A använder oss av kedjeregeln och inre derivatan:

$$\\A'(x)=\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{O}{2}-x \right )\cdot \left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}} \right )=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \left ( \left ( -1 \right )\cdot \left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}} +\left ( \frac{O}{2}-x \right )\cdot \frac{1}{2}\left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot O\right )=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}\cdot \left ( -Ox+\frac{O^{2}}{4}+\frac{O^{2}}{4}-\frac{Ox}{2} \right )=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}\cdot \left ( \frac{O^{2}}{2}-\frac{3\cdot Ox}{2} \right )=0\\$$

Vi har nu produkten av två faktorer som är lika med 0. Den första faktorn kan aldrig bli lika med noll. Vi räknar därför bara ut när den andra faktorn är lika med 0:

$$\\\frac{O^{2}}{2}-\frac{3\cdot Ox}{2}=0\\\\x=\frac{O^{2}}{2}\cdot \frac{2}{3\cdot O}=\frac{O}{3}\\$$

Vi kan nu räkna ut y och h:

$$\\y=O-2x=O-2\cdot \frac{O}{3}=\frac{O}{3} \\\\h=\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}=\sqrt{O\cdot \frac{O}{3}-\frac{O^{2}}{4}}=\sqrt{O^{2}\frac{4-3}{12}}\\\\h=\frac{O}{\sqrt{12}}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\\$$

Eftersom alla sidor i triangeln är lika långa (O/3) så är den liksidig och alla vinklar är lika stora, d.v.s. 60° (180°/3).

Vi kan också räkna ut vinkeln v genom att använda oss av cosinus för halva vinkeln:

$$\\ \cos\, \frac{v}{2}=\frac{h}{x}\\\\\\ \cos\, \frac{v}{2}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\div \frac{O}{3}\\\\\\ \cos\, \frac{v}{2}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{O}\\\\\\ \cos\, \frac{v}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\\frac{v}{2}= \cos^{-1}\, (\frac{\sqrt{3}}{2})\\\\\\\frac{v}{2}=30^{\circ}\\\\v=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}\\$$

vilket alltså stämmer med resonemanget ovan då vi insåg att vinkeln v är 60°.

Vinkeln är 60°.