Läser in [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Trigonometriska Ekvationer

Lös följande ekvationer, där x mäts i grader. Svara med ett närmevärde med en decimal om det inte går att ange exakta värden för x.

1. sin(x)=0.53

2. cos(2x+15)=12

3. tan(2x)=3

4. 2sin2(x)3sin(x)=0

5. 2sin2(x)3sin(x)+1=0

 

Lösningsförslag:

1.

sin(x)=0.53arcsin(sin(x))=arcsin(0.53)x=arcsin(0.53)x32.0

Detta ger oss två fall:

{x132+n360x218032+n360=148+n360

 

2.

cos(2x+15)=12arccos(cos(2x+15)=arccos(12)2x+15=arccos(12)=45

Detta ger oss två fall:

{2x+15=45+n3602x+15=36045+n360=315+n360

{2x=4515+n360=30+n3602x=31515+n360=300+n360

{x1=15+n180x2=150+n180

 

3.

tan(2x)=3arctan(tan(2x))=arctan(3)2x=arctan(3)2x=60+n180x=30+n90

 

4.

2sin2(x)3sin(x)=0

Vi sätter sin(x)=t och får följande:

2t23t=0t232t=0t(t32)=0

Vi använder oss av nollproduktsmetoden för att lösa ut t:

t1=0t232=0t2=32

Fall 1, då t1=0:

sin(x)=t1=0arcsin(sin(x))=arcsin(0)x=n180

Fall 2, då t2=32:

sin(x)=t2=32arcsin(sin(x))=arcsin(32)x=arcsin(32)x=60+n360

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

x=18060+n360x=120+n360

Vi får alltså tre lösningar på fråga 4:

x1=n180x2=60+n360x3=120+n360

 

5.

2sin2(x)3sin(x)+1=0sin2(x)32sin(x)+12=0

Vi sätter sin(x)=t och får följande:

t232t+12=0

Vilken vi löser med pq-formeln:

t=34±(34)212t=34±916816t=34±14t1=1t2=12

Fall 1, då t1=1:

sin(x)=t1=1x=90+n360

Fall 2, då t2=12:

sin(x)=t2=12x=arcsin(12)+n360x=30+n360

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

x=18030+n360x=150+n360

Vi får alltså tre lösningar på fråga 5:

x1=90+n360x2=30+n360x3=150+n360

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska Ekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se

Lös följande ekvationer, där \(x\) mäts i grader. Svara med ett närmevärde med en decimal om det inte går att ange exakta värden för \(x\).

1. \(\sin(x)=0.53\)

2. \(\cos(2x+15^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

3. \(\tan(2x)=\sqrt{3}\)

4. \(2\cdot\sin^2(x)-\sqrt{3}\cdot\sin(x)=0\)

5. \(2\cdot\sin^2(x)-3\cdot\sin(x)+1=0\)

 

Lösningsförslag:

1.

$$\begin{align}\sin(x) & =0.53 \\ \arcsin (\sin(x)) & = \arcsin(0.53) \\ x & = \arcsin(0.53) \\ x & \approx 32.0^{\circ} \end{align}$$

Detta ger oss två fall:

$$\begin{cases}x_1\approx 32^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_2\approx 180^{\circ}-32^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=148^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{cases}$$

 

2.

$$\begin{align}\cos(2x+15^{\circ})= & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \arccos(\cos(2x+15^{\circ}) = & \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ 2x+15^\circ = & \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^{\circ}\end{align}$$

Detta ger oss två fall:

$$\begin{cases} 2x+15^\circ=45^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ 2x+15^\circ=360^\circ-45^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}= 315^\circ+n\cdot 360^{\circ} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x=45^{\circ}-15^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ 2x=315^{\circ}-15^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=300^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=15^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \\ x_2=150^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \end{cases}$$

 

3.

$$\begin{align} \tan(2x) & =\sqrt{3} \\ \arctan(\tan(2x)) & = \arctan(\sqrt{3}) \\ 2x & = \arctan(\sqrt{3}) \\ 2x & =60^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \\x & =30^{\circ}+n\cdot 90^{\circ}\end{align}$$

 

4.

$$2\sin^{2}(x)-\sqrt{3}\sin(x)=0$$

Vi sätter \(\sin(x)=t\) och får följande:

$$\begin{align} 2\cdot t^{2}-\sqrt{3}\cdot t & =0 \\ t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot t & =0\\ t \left( t-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) & = 0\end{align}$$

Vi använder oss av nollproduktsmetoden för att lösa ut \(t\):

$$\begin{align} & t_1=0 \\ & t_2-\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \implies t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}$$

Fall 1, då \(t_1=0\):

$$\begin{align} \sin(x) & =t_1=0\\ \arcsin(\sin(x)) & = \arcsin(0) \\ x & = n\cdot 180^{\circ} \end{align}$$

Fall 2, då \(t_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\):

$$\begin{align}\sin(x) & = t_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \arcsin(\sin(x)) & = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ x & = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ x & = 60^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{align}$$

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

$$\begin{align} x & = 180^{\circ}-60^\circ +n\cdot 360^{\circ} \\ x & =120^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

Vi får alltså tre lösningar på fråga 4:

$$\begin{align} x_1 & = n\cdot 180^{\circ} \\ x_2 & = 60^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_3 & = 120^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

 

5.

$$\begin{align} & 2\sin^{2}(x)-3\sin(x)+1=0 \\ & \sin^{2}(x)-\frac{3}{2} \sin(x)+\frac{1}{2}=0 \end{align}$$

Vi sätter \(\sin(x)=t\) och får följande:

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}=0$$

Vilken vi löser med pq-formeln:

$$\begin{align} t & = \frac{3}{4}\pm \sqrt{\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}-\frac{1}{2}} \\ t & = \frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{9}{16}-\frac{8}{16}} \\ t & = \frac{3}{4}\pm \frac{1}{4} \\ t_{1} & =1 \\ t_{2} & =\frac{1}{2}\end{align}$$

Fall 1, då \(t_1=1\):

$$\begin{align} & \sin(x)=t_{1}=1\\ & x=90^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

Fall 2, då \(t_2=\frac{1}{2}\):

$$\begin{align} & \sin(x)=t_{2}=\frac{1}{2} \\ & x=\arcsin\left ( \frac{1}{2} \right )+n\cdot 360^{\circ} \\ & x=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{align}$$

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

$$\begin{align} & x=180^{\circ}-30^\circ+n\cdot 360^{\circ} \\ & x=150^{\circ}+n\cdot360^{\circ}\end{align}$$

Vi får alltså tre lösningar på fråga 5:

$$\begin{align} x_1 & = 90^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_2 & = 30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_3 & = 150^{\circ}+n\cdot360^{\circ}\end{align}$$

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska Ekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se