Trigonometriska Ekvationer

Lös följande ekvationer, där \(x\) mäts i grader. Svara med ett närmevärde med en decimal om det inte går att ange exakta värden för \(x\).

1. \(\sin(x)=0.53\)

2. \(\cos(2x+15^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

3. \(\tan(2x)=\sqrt{3}\)

4. \(2\cdot\sin^2(x)-\sqrt{3}\cdot\sin(x)=0\)

5. \(2\cdot\sin^2(x)-3\cdot\sin(x)+1=0\)

Lösningsförslag:

1.

$$\begin{align}\sin(x) & =0.53 \\ \arcsin (\sin(x)) & = \arcsin(0.53) \\ x & = \arcsin(0.53) \\ x & \approx 32.0^{\circ} \end{align}$$

Detta ger oss två fall:

$$\begin{cases}x_1\approx 32^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_2\approx 180^{\circ}-32^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=148^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{cases}$$

2.

$$\begin{align}\cos(2x+15^{\circ})= & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \arccos(\cos(2x+15^{\circ}) = & \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ 2x+15^\circ = & \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^{\circ}\end{align}$$

Detta ger oss två fall:

$$\begin{cases} 2x+15^\circ=45^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ 2x+15^\circ=360^\circ-45^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}= 315^\circ+n\cdot 360^{\circ} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x=45^{\circ}-15^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ 2x=315^{\circ}-15^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}=300^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=15^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \\ x_2=150^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \end{cases}$$

3.

$$\begin{align} \tan(2x) & =\sqrt{3} \\ \arctan(\tan(2x)) & = \arctan(\sqrt{3}) \\ 2x & = \arctan(\sqrt{3}) \\ 2x & =60^{\circ}+n\cdot 180^{\circ} \\x & =30^{\circ}+n\cdot 90^{\circ}\end{align}$$

4.

$$2\sin^{2}(x)-\sqrt{3}\sin(x)=0$$

Vi sätter \(\sin(x)=t\) och får följande:

$$\begin{align} 2\cdot t^{2}-\sqrt{3}\cdot t & =0 \\ t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot t & =0\\ t \left( t-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) & = 0\end{align}$$

Vi använder oss av nollproduktsmetoden för att lösa ut \(t\):

$$\begin{align} & t_1=0 \\ & t_2-\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \implies t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}$$

Fall 1, då \(t_1=0\):

$$\begin{align} \sin(x) & =t_1=0\\ \arcsin(\sin(x)) & = \arcsin(0) \\ x & = n\cdot 180^{\circ} \end{align}$$

Fall 2, då \(t_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\):

$$\begin{align}\sin(x) & = t_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \arcsin(\sin(x)) & = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ x & = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ x & = 60^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{align}$$

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

$$\begin{align} x & = 180^{\circ}-60^\circ +n\cdot 360^{\circ} \\ x & =120^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

Vi får alltså tre lösningar på fråga 4:

$$\begin{align} x_1 & = n\cdot 180^{\circ} \\ x_2 & = 60^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_3 & = 120^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

5.

$$\begin{align} & 2\sin^{2}(x)-3\sin(x)+1=0 \\ & \sin^{2}(x)-\frac{3}{2} \sin(x)+\frac{1}{2}=0 \end{align}$$

Vi sätter \(\sin(x)=t\) och får följande:

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}=0$$

Vilken vi löser med pq-formeln:

$$\begin{align} t & = \frac{3}{4}\pm \sqrt{\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}-\frac{1}{2}} \\ t & = \frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{9}{16}-\frac{8}{16}} \\ t & = \frac{3}{4}\pm \frac{1}{4} \\ t_{1} & =1 \\ t_{2} & =\frac{1}{2}\end{align}$$

Fall 1, då \(t_1=1\):

$$\begin{align} & \sin(x)=t_{1}=1\\ & x=90^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\end{align}$$

Fall 2, då \(t_2=\frac{1}{2}\):

$$\begin{align} & \sin(x)=t_{2}=\frac{1}{2} \\ & x=\arcsin\left ( \frac{1}{2} \right )+n\cdot 360^{\circ} \\ & x=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \end{align}$$

Den andra lösningen på ovanstående ekvation är:

$$\begin{align} & x=180^{\circ}-30^\circ+n\cdot 360^{\circ} \\ & x=150^{\circ}+n\cdot360^{\circ}\end{align}$$

Vi får alltså tre lösningar på fråga 5:

$$\begin{align} x_1 & = 90^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_2 & = 30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \\ x_3 & = 150^{\circ}+n\cdot360^{\circ}\end{align}$$